北京大学2012年数学直博考试试题
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# 数学分析 (满分 150 分)
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1、 (25 分) $\displaystyle \mathbb\{R\}^n$ 中集合 $\displaystyle S$ 称为紧集, 如果对于 $\displaystyle S$ 的开覆盖 $\displaystyle \left\\{U\_\alpha\right\\}$, 都存在 $\displaystyle \left\\{U\_\alpha\right\\}$ 中的有限个元素也覆盖 $\displaystyle S$. 证明:$\displaystyle S\subset\mathbb\{R\}^n$ 为紧集的充分必要条件是 $\displaystyle S$ 是 $\displaystyle \mathbb\{R\}^n$ 中的有界闭集.
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2、 (25 分) 叙述和证明多元函数带 Lagrange (拉格朗日) 余项的二阶 Taylor (泰勒) 展开公式 (余项为二阶).
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3、 (20 分) 计算积分 $\displaystyle \int\_0^1 \mathrm\{ d\} x\int\_x^\{\sqrt\{x\}\}\frac\{\sin y\}\{y\}\mathrm\{ d\} y$.
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4、 (20 分) 假定 $\displaystyle n\geq m > 1$, 问是否存在连续可导的映射 $\displaystyle F:\mathbb\{R\}^n\to\mathbb\{R\}^m\backslash \left\\{0\right\\}$, $\displaystyle p\mapsto F(p)$, 使得 $\displaystyle F$ 的 Jacobi (雅克比) 矩阵的秩处处为 $\displaystyle m$, 而 $\displaystyle \lim\_\{p\to\infty\}F(p)=\infty$, 为什么? 这里 $\displaystyle 0$ 表示 $\displaystyle \mathbb\{R\}^m$ 的原点.
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5、 (20 分) 设 $\displaystyle \left\\{f\_n(x)\right\\}$ 是实轴 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 上一列一致有界的连续函数, 满足对于任意闭区间 $\displaystyle \subset \mathbb\{R\}$, 成立 $\displaystyle \lim\_\{n\to\infty\}\int\_a^b f\_n(x)\mathrm\{ d\} x=0$. 证明:对于实轴上的任意闭区间 $\displaystyle $, 以及 $\displaystyle $ 上绝对可积的函数 $\displaystyle g(x)$, 恒有 $\displaystyle \lim\_\{n\to\infty\}\int\_a^b g(x)f\_n(x)\mathrm\{ d\} x=0$.
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6、 (20 分) 设 $\displaystyle F(x,y,z)$ 和 $\displaystyle G(x,y,z)$ 都是区域 $\displaystyle D\subset \mathbb\{R\}^3$ 上连续可导的函数, 满足映射
\begin\{aligned\} (x,y,z)\mapsto \left(F(x,y,z),G(x,y,z)\right) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
的 Jacobi (雅克比) 矩阵的秩在 $\displaystyle D$ 上处处为 $\displaystyle 1$, 而函数 $\displaystyle F(x,y,z)$ 的梯度向量 $\displaystyle \mathrm\{ grad\} F$ 在 $\displaystyle D$ 上处处不为零. 假定在点 $\displaystyle p\_0=(x\_0,y\_0,z\_0)\in D$, $\displaystyle F(x,y,z)=G(x,y,z)=0$. 证明:存在点 $\displaystyle p\_0$ 的邻域 $\displaystyle U\subset D$, 使得在 $\displaystyle U$ 上, 函数方程组 $\displaystyle \left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}F(x,y,z)=0\\\\ G(x,y,z)=0\end\{array\}\right.$ 与函数方程 $\displaystyle F(x,y,z)=0$ 是同解方程. 问在 $\displaystyle D$ 上这两组方程是否也是同解方程, 为什么?
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7、 (20 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 都是区间 $\displaystyle (a,b)$ 上 $\displaystyle n$ 阶可导的函数, 如果在点 $\displaystyle x\_0\in (a,b)$, 成立
\begin\{aligned\} f(x\_0)=g(x\_0), f'(x\_0)=g'(x\_0),\cdots, f^\{(k)\}(x\_0)=g^\{(k)\}(x\_0), \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
则称 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle x\_0$ 处 $\displaystyle k$ 阶相切. 现设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (a,b)$ 中互不相同的点 $\displaystyle x\_1,c\dots,x\_t$ 处分别 $\displaystyle k\_1-1,\cdots,k\_t-1$ 阶相切, 而 $\displaystyle n=k\_1+\cdots+k\_t$. 证明:对于任意 $\displaystyle x\in (a,b)$, 存在 $\displaystyle y\in (a,b)$, 使得
\begin\{aligned\} f(x)=g(x)+\frac\{f^\{(n)\}(y)-g^\{(n)\}(y)\}\{n!\}(x-x\_1)^\{k\_1\} \cdots (x-x\_t)^\{k\_t\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
# 高等代数 (满分 100 分)
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1、 (25 分) 设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb\{P\}$ 上的有限维线性空间, 且 $\displaystyle V$ 上线性变换 $\displaystyle \mathscr\{A\}$ 的某个零化多项式 $\displaystyle g(x)$ 可分解为一次因式幂的乘积的形式:
\begin\{aligned\} g(x)=\prod\_\{i=1\}^m (x-\lambda\_i)^\{t\_i\}\left(\lambda\_i\neq \lambda\_j, \forall\ i\neq j\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
证明:若存在 $\displaystyle h(x)\in \mathbb\{P\}$, 使得
\begin\{aligned\} (x-\lambda\_i)^\{t\_i\}\mid \left\, \forall\ i=1,2,\cdots,m, \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
则
(1)、 $\displaystyle h(A)$ 可对角化;
(2)、 $\displaystyle h(A)-A$ 是幂等变换.
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2、 (25 分) 设 $\displaystyle A,B$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵, $\displaystyle D=AB-BA$ 且 $\displaystyle D$ 与 $\displaystyle A$ 可交换, 证明 $\displaystyle D^n=0$.
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3、 (25 分) 设 $\displaystyle V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb\{P\}$ 上 $\displaystyle n$ 维线性空间, $\displaystyle W\_1,\cdots,W\_k$ 为 $\displaystyle V$ 的真子空间 (即非零, 非 $\displaystyle V$). 证明:
(1)、 存在 $\displaystyle V$ 中的 元素 $\displaystyle \alpha$ 不属于任何一个 $\displaystyle W\_j, j=1,\cdots,k$;
(2)、 存在 $\displaystyle V$ 的一组基 $\displaystyle \alpha\_1,\cdots,\alpha\_n$ 满足
\begin\{aligned\} \alpha\_i\not\in \bigcup\_\{j=1\}^k W\_j, \forall\ i=1,2,\cdots,n; \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(3)、 设 $\displaystyle U$ 是 $\displaystyle V$ 的真子空间, 令
\begin\{aligned\} C\_U=\left\\{W;\mbox\{ $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间且 $\displaystyle W\oplus U=V$\}\right\\}, \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
则 $\displaystyle C\_U$ 中含有无穷多个元素.
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4、 (25 分) 设 $\displaystyle V$ 为 $\displaystyle n$ 维欧氏空间, $\displaystyle \mathscr\{A\}\in L(V)$ 是正交变换.
(1)、 证明:$\displaystyle V$ 可以分解为一些 $\displaystyle 1$ 维或 $\displaystyle 2$ 维的两两正交的 $\displaystyle \mathscr\{A\}$-子空间的直和 (即 $\displaystyle V=V\_1\oplus V\_2\oplus \cdots \oplus V\_s$, 其中 $\displaystyle V\_i$ 为 $\displaystyle \mathscr\{A\}$ 的维数为 $\displaystyle 1$ 或 $\displaystyle 2$ 的不变子空间, 且若 $\displaystyle i\neq j$, 则必有 $\displaystyle V\_i,V\_j$ 彼此正交).
(2)、 设 $\displaystyle \varepsilon\_1,\varepsilon\_2,\cdots,\varepsilon\_n; \eta\_1,\eta\_2,\cdots,\eta\_n$ 为 $\displaystyle V$ 的两组标准正交基, 且
\begin\{aligned\} (\varepsilon\_1,\varepsilon\_2,\cdots,\varepsilon\_n)=(\eta\_1,\eta\_2,\cdots,\eta\_n)A . \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
证明:
\begin\{aligned\} A=\left(\begin\{array\}\{cccccccccc\} \cos\left<\varepsilon\_1,\eta\_1\right > &\cos\left<\varepsilon\_2,\eta\_1\right > &\cdots&\cos \left<\varepsilon\_n,\eta\_1\right > \\\\ \cos\left<\varepsilon\_1,\eta\_2\right > &\cos\left<\varepsilon\_2,\eta\_2\right > &\cdots&\cos \left<\varepsilon\_n,\eta\_n\right > \\\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\ \cos\left<\varepsilon\_,\eta\_n\right > &\cos\left<\varepsilon\_2,\eta\_n\right > &\cdots&\cos \left<\varepsilon\_n,\eta\_n\right >\end\{array\}\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这里 $\displaystyle \left<\alpha,\beta\right > $ 表示向量 $\displaystyle \alpha,\beta$ 在欧氏空间中的夹角.
(3)、 确定二维欧氏空间上的第一类正交矩阵及第二类正交矩阵的一般形式, 并由此给出 $\displaystyle n$ 维欧氏空间上正交变换的相似标准形 (即某种简化的表示形式).
# 几何学 (满分 50 分)
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1、 (15 分) 求与三直线
\begin\{aligned\} l\_1:\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}y-x=0\\\\ z-1=0\end\{array\}\right.,\quadl\_2:\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}y+x=0\\\\ z+1=0\end\{array\}\right.,\quadl\_3:\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}y=0\\\\ z=0\end\{array\}\right. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
都相交的直线所产生的曲面的方程.
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2、 (20 分) 设给出的仿射变换为
\begin\{aligned\} \left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\} x'=x+y+3z\\\\ y'=x+5y+z\\\\ z'=3x+y+z \end\{array\}\right.. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
求 $\displaystyle 3$ 个互相正交的向量, 使得在此变换下, 它们仍变为 $\displaystyle 3$ 个互相正交的向量; 并将所给的仿射变换表示成一个正交变换和分别对 $\displaystyle 3$ 个互相正交的方向施行的伸缩变换的乘积.
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3、 (15 分) 证明:分别属于双曲抛物面
\begin\{aligned\} \frac\{x^2\}\{a^2\}-\frac\{y^2\}\{b^2\}=2z\qquad(1) \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
上的两族互相垂直的直母线交点的轨迹是曲面 (1) 与平面 $\displaystyle 2z=b^2-a^2$ 的交线, 为一条双曲线.
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