大连理工大学2009年数学分析考研试题参考解答

zhangzujin

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## 大连理工大学2009年数学分析考研试题 --- 1、 解答下列各题. (1)、 判断下列数列是否收敛: $\displaystyle 1+\frac\{1\}\{2^2\}+\frac\{1\}\{3^2\}+\cdots+\frac\{1\}\{n^2\}$. fl: 数列极限 (2)、 设 $\displaystyle \left\\{a\_n\right\\}$ 是正数列, 若 $\displaystyle \varlimsup\_\{n\to\infty\}a\_n=1$, 证明: \begin\{aligned\} \varlimsup\_\{n\to\infty\}\sqrt[n]\{a\_1+\cdots+a\_n\}=1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} fl: 数列极限 (3)、 判断下列函数列是否一致收敛: $\displaystyle f\_n(x)=x^n \cos\frac\{\pi\}\{2x\}, x\in (0,1]$. fl: 函数项级数 (4)、 设 $\displaystyle u=f\left(xy,\frac\{y\}\{x\}\right)$, 求 $\displaystyle \frac\{\partial^2u\}\{\partial x^2\},\frac\{\partial ^2u\}\{\partial x\partial y\}$. fl: 多元函数微分学 (5)、 已知 $\displaystyle f'(a)$ 存在, 求 $\displaystyle \lim\_\{x\to a\}\frac\{xf(a)-af(x)\}\{x-a\}$. fl: 微分 (6)、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上可导, 且 $\displaystyle f(a)=f(b)$, $\displaystyle a > 0$. 证明: 存在 $\displaystyle \xi\in (a,b)$, 使得 \begin\{aligned\} f(a)-f(\xi)=\frac\{\xi f'(\xi)\}\{2\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} fl: 微分 (7)、 求极限 $\displaystyle \lim\_\{x\to+\infty\}\frac\{x^n\}\{\ln^2x\}$, 其中 $\displaystyle n$ 是正整数. fl: 函数极限 (8)、 求下列函数的 Fourier 级数展开: \begin\{aligned\} f(x)=\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}\pi-x,&-\pi\leq x < 0,\\\\ \pi+x,&0\leq x\leq \pi.\end\{array\}\right. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} fl: Fourier级数 (9)、 求 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]\{x^2\}(x-1)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的极值. fl: 微分 (10)、 设 $\displaystyle V$ 是由平面 $\displaystyle x=0, y=0, z=0$ 和 $\displaystyle x+y+z=1$ 所围成的区域, 求 $\displaystyle \iiint\_V z^2\mathrm\{ d\} x\mathrm\{ d\} y\mathrm\{ d\} z$. fl: 重积分 --- 2、 设定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的 $\displaystyle f(x)$ 满足: 对任意的 $\displaystyle x\_0\in (-\infty,+\infty)$, 都存在 $\displaystyle \delta > 0$, 使得 $\displaystyle f(x\_0)\geq f(x), x\in (x\_0-\delta,x\_0+\delta)$. 证明存在一个区间 $\displaystyle I$ 上 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上是常数. fl: 微分 --- 3、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上具有连续的导数, $\displaystyle 0 < a < b$, \begin\{aligned\} f(a)=f(b)=0, \quad \int\_a^b f^2(x)\mathrm\{ d\} x=1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 证明: $\displaystyle \int\_a^b x^2[f'(x)]^2\mathrm\{ d\} x > \frac\{1\}\{4\}$. fl: 积分法与不等式 --- 4、 给定函数列 $\displaystyle f\_n(x)=\frac\{x|\ln x|^\alpha\}\{n^x\}, n=2,3,\cdots$, 其中 $\displaystyle \alpha > 0$. 试问当 $\displaystyle \alpha$ 取何值时, $\displaystyle \left\\{f\_n(x)\right\\}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛. fl: 函数项级数 --- 5、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续, 若有 \begin\{aligned\} \int\_\{-1\}^1 x^\{2n+1\}f(x)\mathrm\{ d\} x=0\left(n=0,1,2,\cdots\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 求证: $\displaystyle f(x)$ 是偶函数. fl: 定积分 --- 6、 设 $\displaystyle a > b > 1$, 证明: $\displaystyle a^\{b^a\} > b^\{a^b\}$. fl: 微分法与不等式 --- 7、 计算曲面积分 \begin\{aligned\} I=\iint\_\varSigma (x-y+z)\mathrm\{ d\} y\mathrm\{ d\} z+(y-z+x)\mathrm\{ d\} z\mathrm\{ d\} y+(z-x+y)\mathrm\{ d\} x\mathrm\{ d\} y, \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 其中 $\displaystyle \varSigma: x^2+y^2=z^2$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的部分. fl: 曲线曲面积分 --- 8、 证明积分 $\displaystyle \int\_0^1 \frac\{\sin\frac\{1\}\{x\}\}\{x^p\}\mathrm\{ d\} x$ 在 $\displaystyle 0 < p < 2$ 时非一致收敛, 在 $\displaystyle 0 < p < 2-\delta$ 时一致收敛, 其中 $\displaystyle \delta > 0$ 是正常数. fl: 含参量积分