北京大学2015年数学直博考试试题

zhangzujin

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## 北京大学2015年数学直博考试试题 --- 1、 (90 分) 设 $\displaystyle y=f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 上的 $\displaystyle C^\infty$ 函数, 对任意正数 $\displaystyle k\geq 0$, 记 \begin\{aligned\} M\_k=\sup\_\{x\in\mathbb\{R\}\} |f^\{(k)\}(x)|. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 设 $\displaystyle m$ 和 $\displaystyle n$ 为两整数, $\displaystyle 0\leq m < n$, 试分别就下列情况, 给出你的结论和证明. (1)、 如果 $\displaystyle M\_m$ 和 $\displaystyle M\_n$ 均有界, 那么对哪些正数 $\displaystyle k$, $\displaystyle M\_k$ 有界? 对哪些整数 $\displaystyle k$, $\displaystyle M\_k$ 可以无界? (2)、 如果 $\displaystyle \lim\_\{x\to+\infty\} |f^\{(m)\}(x)|$ 存在有限极限, 而 $\displaystyle M\_n$ 有界, 则对哪些自然数 $\displaystyle k$, 极限 $\displaystyle \lim\_\{x\to+\infty\}|f^\{(k)\}(x)|$ 也存在极限? (3)、 如果 $\displaystyle \lim\_\{x\to+\infty\}|f^\{(m)\}(x)|$ 和 $\displaystyle \lim\_\{x\to+\infty\}|f^\{(n)\}(x)|$ 都存在有限极限, 则对哪些自然数 $\displaystyle k$, 极限 $\displaystyle \lim\_\{x\to+\infty\}|f^\{(k)\}(x)|$ 也存在极限? --- 2、 (30 分) 判断级数 $\displaystyle \sum\_\{n=2\}^\infty \frac\{(-1)^n\}\{\sqrt\{n\}+(-1)^\{[\sqrt\{n\}]\}\}$ 的敛散性, 其中 $\displaystyle [x]$ 表示 $\displaystyle x$ 的取整. --- 3、 (30 分) 证明 \begin\{aligned\} \int\_0^1 \int\_0^1 \frac\{1\}\{(xy)^\{xy\}\}\mathrm\{ d\} x\mathrm\{ d\} y =\int\_0^1 \frac\{1\}\{x^x\}\mathrm\{ d\} x=\sum\_\{n=1\}^\infty \frac\{1\}\{n^n\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} --- 4、 (25 分) 设 $\displaystyle A$ 是一个 $\displaystyle n$ 阶方阵, 且 $\displaystyle n\geq 3$, $\displaystyle A^\star $ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵 (即 $\displaystyle A$ 的代数余子式所组成的矩阵). 试证明, 若 $\displaystyle (A^\star )^\star \neq 0$ (零矩阵), 则 $\displaystyle A$ 可逆, 且此时 $\displaystyle (A^\star )^\star $ 是 $\displaystyle A$ 的一个纯量倍. --- 5、 (25 分) 设 $\displaystyle A$ 是一个 $\displaystyle 3$ 阶实方阵, 考虑 $\displaystyle A$ 所定义的线性变换 $\displaystyle \mathbb\{R\}^3\to\mathbb\{R\}^3, \alpha\mapsto A\alpha$ ($\alpha$ 是列向量). 试证明: 若 $\displaystyle AA^\mathrm\{T\}=A^\mathrm\{T\} A$ (其中 $\displaystyle A^\mathrm\{T\}$ 是指 $\displaystyle A$ 的转置矩阵), 则上述线性变换必有一个 $\displaystyle 2$ 维不变子空间. --- 6、 (25 分) 设 $\displaystyle A$ 和 $\displaystyle B$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb\{C\}$ 上的两个 $\displaystyle n$ 阶方阵, 并且 $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle n$ 个特征值 $\displaystyle 1,2,\cdots,n$, $\displaystyle B$ 也有 $\displaystyle n$ 个特征值 $\displaystyle \sqrt\{p\_1\},\cdots, \sqrt\{p\_n\}$, 其中 $\displaystyle p\_1,\cdots,p\_n$ 是前 $\displaystyle n$ 个素数 (比如 $\displaystyle p\_1=2, p\_2=3$ 等). 试证明: $\displaystyle M\_n(\mathbb\{C\})$ 上的线性变换 $\displaystyle X\mapsto AXB$ 是可以对角化的. --- 7、 (20 分) 设 \begin\{aligned\} A=\left(\begin\{array\}\{cccccccccc\}-2&1&3\\\\ -2&1&2\\\\ -1&1&2\end\{array\}\right), \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 试找出两个没有常数项的多项式 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle \varphi(x)$, 使得下列三个条件同时成立: (1)、 $\displaystyle f(A)$ 可对角化; (2)、 $\displaystyle \varphi(A)$ 是幂零矩阵; (3)、 $\displaystyle A=f(A)+\varphi(A)$. --- 8、 几何部分共 5 道小题, 每题 10 分. (1)、 三维欧氏空间中共取定直角坐标系. 有一直线 $\displaystyle l$ 过点 $\displaystyle (1,0,0)$ 且方向向量为 $\displaystyle (0,1,1)$. $\displaystyle l$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转生成一个二次曲面 $\displaystyle S$. 试写出此二次曲面的代数方程 (形如 $\displaystyle f(x,y,z)=0$). (2)、 设有一固定平面 $\displaystyle \varSigma$, 具有以下性质: 上述直线 $\displaystyle l$ 在绕 $\displaystyle z$ 轴旋转过程中总是与 $\displaystyle \varSigma$ 相交. 考虑与 $\displaystyle \varSigma$ 平行的平面族 $\displaystyle \varSigma\_t, t\in\mathbb\{R\}, \varSigma\_0=\varSigma$. 试证明 $\displaystyle \varSigma\_t\cap S$ 总是椭圆. (3)、 试证明 $\displaystyle t$ 值变化过程中, 上述各椭圆的中心总落在一个过原点的空间定直线 $\displaystyle L$ 上. (4)、 固定 $\displaystyle L$ 上任一点 $\displaystyle p$, 试证明: 由 $\displaystyle p$ 向曲面 $\displaystyle S$ 作的各条切线的切点都落在一条椭圆 $\displaystyle \varGamma\_p$ 上, 且椭圆 $\displaystyle \varGamma\_p$ 所在平面是 $\displaystyle \varSigma\_t$ 之一. (5)、 $\displaystyle S$ 把它在空间的补集分成内额外两个连通分支, 其中外部区域不包含原点. 取上一小题所述椭圆 $\displaystyle \varSigma$ 所在平面落在 $\displaystyle S$ 外部的一点 $\displaystyle \hat p$. 试证明: 从 $\displaystyle \hat p$ 向 $\displaystyle S$ 所作的各条切线之切点落在一条双曲线 $\displaystyle \hat \varGamma$ 上, 且 $\displaystyle \hat \varGamma$ 所在平面过 $\displaystyle p$ 点.