北京大学2013年数学直博考试试题

zhangzujin

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## 北京大学2013年数学直博考试试题 --- 1、 (20 分) 设 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle [0,2]$ 上的上凸可导函数, 过 $\displaystyle (0,0), (1,1), (2,0)$ 点. 问 $\displaystyle f$ 与 $\displaystyle x$ 轴围成面积的下确界是多少? 该下确界能达到吗? --- 2、 (20 分) 设有方程 $\displaystyle y+\sin y=x$. (1)、 证明: 该方程在 $\displaystyle x=0$ 附近可以唯一确定 $\displaystyle y=f(x)$; (2)、 将 $\displaystyle y$ 表示为 $\displaystyle y=a\_0+a\_1x+a\_2x^2+o(x^2)$. --- 3、 (20 分) 构造定义在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的函数 $\displaystyle f$, 满足 $\displaystyle f$ 只在其中一点可导, 在其它个点都不连续. --- 4、 (20 分) 讨论级数 $\displaystyle \sum\_\{n=1\}^\infty \frac\{(-1)^n\}\{\sqrt\{n\}+(-1)^\{[\sqrt\{n\}]\}\}$ 的收敛性. --- 5、 (35 分) 函数 $\displaystyle f\_n(x)$ 定义在 $\displaystyle [0,2]$ 上, 满足 \begin\{aligned\} f\_n(x) = \sqrt\{\frac\{1\}\{n^2\} -\left(x-\frac\{2k-1\}\{n\}\right)^2\},&x\in \left\[\frac\{2k-2\}\{n\},\frac\{2k\}\{n\}\right), 1\leq k\leq n. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} (1)、 求 $\displaystyle f\_n$ 的弧长 $\displaystyle l\_n$; (2)、 求证: $\displaystyle f\_n$ 一致收敛于某 $\displaystyle f$; (3)、 求 $\displaystyle f$ 的弧长 $\displaystyle l$; (4)、 $\displaystyle l\_n$ 收敛于 $\displaystyle l$ 吗? 解释原因. --- 6、 (35 分) 定义函数 $\displaystyle f: [0,1]\to [0,1]$ 如下: \begin\{aligned\} f(x)=0.0a\_10a\_20a\_3\cdots, x=0.a\_1a\_2a\_3\cdots. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 这里 $\displaystyle x\in [0,1]$ 都表示无限小数 (比如 $\displaystyle 0.1=0.0\dot\{9\}$). 请自由探索 $\displaystyle f$ 的性质. --- 7、 (25 分) (1)、 $\displaystyle x^6+x^3+1$ 在有理数域上是否可约, 给出详细理由. (2)、 如果 $\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle x^6+x^3+1=0$ 的根, 求多项式 $\displaystyle f(x)$, 满足 $\displaystyle \deg(f) < 6$, 且 $\displaystyle \alpha^8+\alpha^5=f(\alpha)$. (3)、 (2) 中所求 $\displaystyle f(x)$ 唯一吗? 为什么? (4)、 求多项式 $\displaystyle g(x)$, 满足 $\displaystyle g(\alpha)=\frac\{1\}\{\alpha^8+\alpha^5\}$, 其中 $\displaystyle g(x)$ 是有理多项式. --- 8、 (25 分) (1)、 设 $\displaystyle A,B$ 是半正定矩阵. 证明: \begin\{aligned\} |A+B|\geq |A|, |A+B|\geq |B|. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} (2)、 设 $\displaystyle A$ 是正定矩阵, $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle A$ 第 $\displaystyle i\_1,\cdots,i\_s$ 行和第 $\displaystyle i\_1,\cdots,i\_s$ 列的构成的主子式, $\displaystyle M$ 是 $\displaystyle D$ 的代数余子式. 证明: $\displaystyle |A|\leq DM$. --- 9、 (25 分) 设 $\displaystyle \mathrm\{e\}^A=\sum\_\{n=0\}^\infty \frac\{A^n\}\{n!\}$, 证明: $\displaystyle \mathrm\{e\}^\{|A|\} =\mathrm\{e\}^\{\mathrm\{tr\} A\}$. --- 10、 (25 分) $\displaystyle n$ 维空间至多有多少个两两成钝角的向量? --- 11、 (30 分) 已知双叶双曲面 $\displaystyle x^2+y^2-z^2=-1$ 的一支 $\displaystyle z > 0$, $\displaystyle M$ 与是与该双曲线相交于封闭曲线的任意平面, $\displaystyle M\_0$ 是与 $\displaystyle M$ 平行的一族平面, 证明 $\displaystyle M\_0$ 与 $\displaystyle x^2+y^2-z^2=-1\ (z > 0)$ 相交的都是椭圆, 且椭圆的中心在 $\displaystyle xOy$ 平面上的投影都在 $\displaystyle x$ 轴上. (这题题目记不清楚了, 可能不对) --- 12、 (20 分) 平面上直线 $\displaystyle AA',BB',CC'$ 平行, $\displaystyle AB$ 和 $\displaystyle A'B'$ 交于点 $\displaystyle D$, $\displaystyle BC$ 与 $\displaystyle B'C'$ 交于点 $\displaystyle E$, $\displaystyle CA$ 与 $\displaystyle C'A'$ 交于点 $\displaystyle F$. 证明: $\displaystyle D,E,F$ 共线.