北京大学2011年数学直博考试试题

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## 北京大学2011年数学直博考试试题 --- 1、 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上的凹函数, 经过点 $\displaystyle (0,0), (1,0), \left(\frac\{1\}\{3\},2\right)$, 并且 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle \int\_0^1 f(x)\mathrm\{ d\} x=1$, 试作出 $\displaystyle y=f(x)$ 的图像. --- 2、 (1)、 设 $\displaystyle f(x)\in C[0,1], f(0)=f(1)$. 证明: \begin\{aligned\} \forall\ 0 < \alpha < 1, \frac\{1\}\{\alpha\}\in\mathbb\{N\}, \exists\ \xi\in [0,1-\alpha],\mathrm\{ s.t.\} f(\xi+\alpha)=f(\xi). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} (2)、 证明: \begin\{aligned\} &\forall\ 0 < \alpha < 1, \frac\{1\}\{\alpha\}\not\in \mathbb\{N\}, \exists\ g(x)\in C[0,1], g(0)=g(1),\\\\ &\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x\in [0,1-\alpha], g(x+\alpha)-g(x)\neq 0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} --- 3、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x\_0$ 的某个邻域内连续, 以下说法是否成立? (1)、 若 $\displaystyle D\_+f(x\_0)$ 存在, 则 $\displaystyle D\_0f(x\_0)$ 存在, (2)、 若 $\displaystyle D\_0f(x\_0)$ 存在, 则 $\displaystyle D\_-f(x\_0)$ 存在, 其中 \begin\{aligned\} D\_+f(x\_0)&=\lim\_\{x\_1,x\_2\to x\_0\atop (x\_1-x\_0)(x\_2-x\_0) > 0\} \frac\{f(x\_1)-f(x\_1)\}\{x\_1-x\_2\},\\\\ D\_0f(x\_0)&=\lim\_\{x\to x\_0\} \frac\{f(x)-f(x\_0)\}\{x-x\_0\},\\\\ D\_-f(x\_0)&=\lim\_\{x\_1,x\_2\to x\_0\atop (x\_1-x\_0)(x\_2-x\_0) < 0\}\frac\{f(x\_1)-f(x\_2)\}\{x\_1-x\_2\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} --- 4、 设 $\displaystyle a\_n\geq 0, \sum\_\{n=1\}^\infty a\_n^2$ 发散. 证明: 存在 $\displaystyle \left\\{b\_n\right\\}, \left\\{c\_n\right\\}$ 满足 \begin\{aligned\} b\_n, c\_n\geq 0, \sum\_\{n=1\}^\infty b\_n^2 < \infty, \sum\_\{n=1\}^\infty c\_n^2 < \infty, \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 使得 $\displaystyle \sum\_\{n=1\}^\infty a\_nb\_n < \infty$, $\displaystyle \sum\_\{n=1\}^\infty a\_nc\_n$ 发散. --- 5、 设 \begin\{aligned\} f(x)&=x^n+a\_1x^\{n-1\}+\cdots+a\_\{n-1\}x+a\_n,\\\\ g(x)&=x^m+b\_1x^\{m-1\}+\cdots+b\_\{m-1\}x+b\_m, \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} $\displaystyle A\_\{m+n\}$ 为 $\displaystyle m+n$ 阶方阵, 前 $\displaystyle m$ 行是 $\displaystyle f(x)$ 的系数, 后 $\displaystyle n$ 行是 $\displaystyle g(x)$ 的系数, 即 \begin\{aligned\} \left(\begin\{array\}\{cccccccccc\} 1&a\_1&a\_2&\cdots&a\_n&&&\\\\ &1&a\_1&a\_2&\cdots&a\_n&&\\\\ &&\ddots&\ddots&\ddots&&\ddots&&\\\\ &&&1&a\_1&a\_2&\cdots&a\_n\\\\ 1&b\_1&b\_2&\cdots&b\_m&&&&\\\\ &1&b\_1&b\_2&\cdots&b\_m&&&\\\\ &&\ddots&\ddots&\ddots&&\ddots&\\\\ &&&1&b\_1&b\_2&\cdots&b\_m \end\{array\}\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 证明: $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的最大公因式的次数等于 $\displaystyle m+n-\mathrm\{rank\}(A\_\{m+n\})$. --- 6、 (1)、 设 $\displaystyle U$ 是 $\displaystyle ABX=0$ 的基础解系, 其中 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m\times n$ 矩阵, $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle n\times p$ 矩阵, $\displaystyle X$ 是 $\displaystyle p\times 1$ 矩阵, $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \mathbb\{R\}^n$ 的子空间, \begin\{aligned\} W=\left\\{Y=BX; X\in U\right\\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} 证明: $\displaystyle W$ 的维数是 $\displaystyle \mathrm\{rank\}(B)-\mathrm\{rank\}(AB)$. (2)、 证明: 对任意矩阵 $\displaystyle A,B,C$, 有 \begin\{aligned\} \mathrm\{rank\}(AB)+\mathrm\{rank\}(BC)\leq \mathrm\{rank\}(B)+\mathrm\{rank\}(ABC). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} --- 7、 设 $\displaystyle A,B$ 是 $\displaystyle n$ 阶方阵, $\displaystyle A,B$ 可交换, $\displaystyle B$ 是幂零矩阵, 证明: $\displaystyle A+B$ 和 $\displaystyle A$ 有相同的特征多项式. --- 8、 设 $\displaystyle \varGamma: x^2+y^2-z^2=1$, 平面 $\displaystyle \varSigma(\theta)$ 过直线 $\displaystyle \left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\} x=1,\\\\ z=0,\end\{array\}\right.$ 与平面 $\displaystyle z=0$ 夹角为 $\displaystyle \theta$. (1)、 当 $\displaystyle \theta$ 从 $\displaystyle 0$ 到 $\displaystyle \frac\{\pi\}\{2\}$ 连续变化时, $\displaystyle \varSigma(\theta)\cap \varGamma$ 表示曲线是哪种类型? (2)、 证明: 若平面 $\displaystyle Ax+By+Cz+D=0$ 与 $\displaystyle \varGamma$ 交线为两条直线, 则 $\displaystyle A^2+B^2=C^2+D^2$. --- 9、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有定义, $\displaystyle \int\_0^\{+\infty\}f(x)\mathrm\{ d\} x$ 收敛, 依次验证下列条件是否能够推出 $\displaystyle \lim\_\{x\to+\infty\}f(x)=0$. (1)、 $\displaystyle f(x)\in C^\infty$; (2)、 $\displaystyle \int\_0^\infty |f(x)|^3\mathrm\{ d\} x$ 收敛; (3)、 $\displaystyle \int\_0^\infty |f'(x)|^2\mathrm\{ d\} x$ 收敛; (4)、 $\displaystyle \int\_0^\infty |f''(x)|\mathrm\{ d\} x$ 收敛. --- 10、 求下面几何体的体积: \begin\{aligned\} -1\leq x\_1,x\_2,\cdots, x\_n\leq 1, -1\leq x\_1+x\_2+\cdots+x\_n\leq 1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\} --- 11、 对任意 $\displaystyle n$ 维列向量 $\displaystyle \alpha,\beta, \alpha^\mathrm\{T\} A\beta=0$ 当且仅当 $\displaystyle \beta^\mathrm\{T\} A\alpha=0$. 证明: $\displaystyle A$ 对称或反对称. --- 12、 平面上直线 $\displaystyle AA',BB',CC'$ 平行, $\displaystyle AB$ 和 $\displaystyle A'B'$ 交于点 $\displaystyle D$, $\displaystyle BC$ 与 $\displaystyle B'C'$ 交于点 $\displaystyle E$, $\displaystyle CA$ 与 $\displaystyle C'A'$ 交于点 $\displaystyle F$. 证明: $\displaystyle D,E,F$ 共线.