清华大学2022年第1次博士生资格考试分析学试题参考解答

zhangzujin

清华大学2022年第1次博士生资格考试分析学试题, 参考解答请购买本帖.

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1、 设 $\displaystyle \left\{f_n\right\}\subset L^1(\mathbb{R}^d)$, 且

$$\begin{aligned} \left\Vert f_{n+1}-f_n\right\Vert _{L^1}\leq\frac{1}{n^2}, \forall\ n\geq 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试证明:

$$\begin{aligned} \exists\ f\in L^1(\mathbb{R}^d),\mathrm{ s.t.} \lim_{n\to\infty}\left\Vert f_n-f\right\Vert _{L^1}=0, \mbox{且} f_n \to f, \mbox{a.e.} x\in\mathbb{R}^d. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

[张祖锦注: 题中条件貌似不充分, 可能回忆有误. 张祖锦在 $\displaystyle \leq \frac{1}{n^{2p}}, p\geq 1$ 下才证得结论!] fl: 实变函数

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2、 已知定义在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 Lebesgue 可积函数 $\displaystyle f$ 满足

$$\begin{aligned} \int_\mathbb{R} |f(x+h)-f(x)|\mathrm{ d} x=o(h^2), h\to 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试证明: $\displaystyle f(x)$ 为常数. [张祖锦给出的证明只要 $\displaystyle o(h^2)\to o(h^{1+\alpha}), \alpha > 0$.] fl: 实变函数

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3、 设复函数列 $\displaystyle f_n$ 在 $\displaystyle B(0,1)$ 上解析, $\displaystyle \overline{B(0,1)}$ 上连续. 对于 $\displaystyle 0 < r < 1$, 试证明:

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_0^{2\pi}|f_n(\mathrm{e}^{\mathrm{ i} \theta})|\mathrm{ d} \theta=0\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\max_{|z|\leq r}|f_n(z)|=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

fl: 复变函数

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4、 已知对于 $\displaystyle \forall\ t\in [0,1], C[0,1]\ni x\mapsto T_t(x)$ 是有界线性泛函, 且对固定的 $\displaystyle x\in C[0,1]$, $\displaystyle T_t(x)$ 关于 $\displaystyle t$ 连续可导. 试证明: 存在 $\displaystyle C > 0$, 使得

$$\begin{aligned} \left|\frac{\mathrm{ d}}{\mathrm{ d} t}T_t(x)\right|\leq C\left\Vert x\right\Vert , \forall\ t\in \mathbb{R}, \forall\ x\in C[0,1]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

fl: 泛函分析

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5、 试证明 Lax-Milgram 定理: 设 $\displaystyle \phi(x,y)$ 是 Hilbert 空间 $\displaystyle H$ 上的共轭双线性泛函, 满足:

(1)、 $\displaystyle \exists\ M > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ x,y\in H, |\phi(x,y)|\leq M\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert$;

(2)、 $\displaystyle \exists\ \delta > 0,\mathrm{ s.t.} \forall\ x\in H, \phi(x,x)\geq \delta\left\Vert x\right\Vert ^2$.

则对于 $\displaystyle \forall\ f\in H^\star$, 存在唯一的 $\displaystyle y_f\in H$, 使得

$$\begin{aligned} \phi\left(x,y_f\right)=f(x), \quad \forall\ x\in H. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

fl: 泛函分析