清华大学2022年第2次博士生资格考试分析学试题参考解答

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清华大学2022年第2次博士生资格考试分析学试题, 参考解答请购买本帖.

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1、 设 $\displaystyle f_n,g_n, f,g\in L^1(\mathbb{R}^d)$, 且

$$\begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}\left\Vert f_n-f\right\Vert _{L^1}=0, \lim_{n\to\infty}\left\Vert g_n-g\right\Vert _{L^1}=0,\\ &\sup_{x\in\mathbb{R}^d, n\in \mathbb{Z}_+}|f_n(x)|\leq C < \infty. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试证: $\displaystyle |f(x)|\leq C, \mbox{a.e.} x\in\mathbb{R}^d$, 且 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\Vert f_ng_n-fg\right\Vert _{L^1}=0$. fl: 实变函数

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2、 设 $\displaystyle f,g\in L^2(\mathbb{R})$, 试证:

$$\begin{aligned} \left|\iint_{\mathbb{R}^2} f(x)g(y)\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}(x^2+y^2)}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\right|\leq \left\Vert f\right\Vert _{L^2(\mathbb{R})} \left\Vert g\right\Vert _{L^2(\mathbb{R})}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

fl: 实变函数

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3、 设 $\displaystyle f,g$ 都是无零点的整函数, 满足

$$\begin{aligned} \frac{f'\left(\frac{1}{n}\right)}{f\left(\frac{1}{n}\right)} =\frac{g'\left(\frac{1}{n}\right)}{g\left(\frac{1}{n}\right)}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

求 $\displaystyle f,g$ 的简单关系. fl: 复变函数

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4、 设 $\displaystyle R\in (0,+\infty)$, $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle B(0,R)$ 内的有界解析函数, $\displaystyle r\in (0,R)$. 试证: 存在仅与 $\displaystyle r, R, \sup_{B(0,R)}|f|$ 有关的 $\displaystyle L\in (0,\infty)$, 使得

$$\begin{aligned} |f(a)-f(b)|\leq L|a-b|, \forall\ a,b\in B(0,r). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

fl: 复变函数

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5、 设 $\displaystyle X,Y$ 为 Banach 空间, $\displaystyle A: X\to Y$ 为线性算子. 试证: $\displaystyle A\in B(X,Y)\Leftrightarrow \forall\ f\in Y^\star, f\circ A\in X^\star$. fl: 泛函分析

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6、 设 $\displaystyle H$ 是 Hilbert 空间, $\displaystyle Y\subset H$. 试证:

$$\begin{aligned} \overline{\mathrm{span} Y}=H\Leftrightarrow Y^\perp=\left\{0\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

fl: 泛函分析