第01章简介

zhangzujin · 发表于 2023-5-24 22:42:43

1、本章给出求解偏微分方程的技术路线.

2、阅读本章前, 请先看看附录 A, 看看哪里的记号, 特别是多重指标与偏导数.

偏微分方程(1.1)

1、偏微分方程是一个涉及含有两个或以上自变量的未知函数及其偏导数的方程.

2、利用附录 A 的记号, 我们可将偏微分方程表述如下. 设 $\displaystyle k\geq 1$ 是整数, $\displaystyle U$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 中的开集.

3、定义. 形如 \begin{equation}\tag{01-01}\label{01-01}\begin{aligned} F\left(D^ku(x), D^{k-1}u(x), \cdots, Du(x), u(x), x\right)=0\left(x\in U\right) \end{aligned}\end{equation} 的方程称为 $\displaystyle k$ 阶偏微分方程. 这里,

$$\begin{aligned} F: \mathbb{R}^{n^k}\times \mathbb{R}^{n^{k-1}}\times \cdots \times \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}\times U\to \mathbb{R} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

是给定的函数, 且

$$\begin{aligned} u: U\to \mathbb{R} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

是未知函数.

4、所谓求解偏微分方程, 就是找出所有满足 $\displaystyle \eqref{01-01}$ 的方程的函数 $\displaystyle u$, 有时还要求 $\displaystyle u$ 在 $\displaystyle \partial\varOmega$ 的一部分 $\displaystyle \varGamma$ 上满足特定的边界条件. 理想的, 当然是能给出解的简单的、明确的表达式; 如果不能, 则要证明解的存在性、唯一性和稳定性.

5、定义.

(1)、偏微分方程 $\displaystyle \eqref{01-01}$ 称为线性的, 如果它具有形式

$$\begin{aligned} \sum_{|\alpha|\leq k}a_\alpha(x) D^\alpha u=f(x), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle a_\alpha\ (|\alpha|\leq k), f$ 是给定的函数. 上述线性偏微分方程称为齐次的, 如果 $\displaystyle f\equiv 0$.

(2)、偏微分方程 $\displaystyle \eqref{01-01}$ 称为半线性的, 如果它具有形式

$$\begin{aligned} \sum_{|\alpha|=k}a_\alpha(x)D^\alpha u+a_0\left(D^{k-1}u,\cdots,Du,u,x\right)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(3)、偏微分方程 $\displaystyle \eqref{01-01}$ 称为拟线性的, 如果它具有形式

$$\begin{aligned} \sum_{|\alpha|=k}a_\alpha\left(D^{k-1}u,\cdots,Du,u,x\right)D^\alpha u+a_0\left(D^{k-1}u,\cdots,Du,u,x\right)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(4)、偏微分方程 $\displaystyle \eqref{01-01}$ 称为完全非线性的, 如果它关于 $\displaystyle u$ 的最高阶偏导数是非线性的.

6、两个或以上的偏微分方程合在一起就是偏微分方程组.

7、定义. 形如

$$\begin{aligned} \vec{F}\left(D^k\vec{u}(x),D^{k-1}\vec{u}(x),\cdots,D \vec{u}(x), \vec{u}(x),x\right)=\vec{0}\left(x\in U\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

称为 $\displaystyle k$ 阶偏微分方程组, 其中

$$\begin{aligned} \vec{F}: \mathbb{R}^{mn^k}\times \mathbb{R}^{mn^{k-1}}\times \cdots\mathbb{R}^{mn}\times \mathbb{R}^m\times U\to \mathbb{R}^m, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

给定, 而

$$\begin{aligned} \vec{u}: U\to\mathbb{R}^m, \vec{u}=(u^1,\cdots,u^m) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

是未知函数.

8、这里我们假设方程的个数 $\displaystyle m$ 与未知函数 $\displaystyle (u_1,\cdots,u^m)$ 的个数相同. 这是经常出现的. 当然也会出现不等的情形. 方程组同样可以分类: 线性、半线性、拟线性、完全非线性等.

9、记号. 英文中, 我们用’PDE‘简写单数形式的’partial differential equation‘与复数形式的’partial differential equations‘.

例子(1.2)

1、没有关于求解所有 PDE 可解性的理论. 毕竟 PDE 的来源十分广泛: 物理学、几何学、概率论等. 事实上, 我们研究数学内外的重要的 PDE 时, 也是期待能从它的来源获得解的性质.

2、下面我们列举一些目前研究中常用的 PDE, 让大家对著名 PDE 的名字与形式有个大致印象. 为了看清楚它们的数学结构, 我们通常设定相关的物理常数为 $\displaystyle 1$. 以后我们将讨论这些 PDE 的来源与解释.

3、通篇我们假设 $\displaystyle x\in U$, 其中 $\displaystyle U$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的开集, $\displaystyle t\geq 0$. 此外,

$$\begin{aligned} Du=D_xu=\left(u_{x_1},\cdots,u_{x_n})\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

表示 $\displaystyle u$ 关于空间变量 $\displaystyle x=(x_1,\cdots,x_n)$ 的梯度. 而自变量 $\displaystyle t$ 常用来表示时间.

偏微分方程(1.2.1)

线性方程

1、 Laplace 方程

$$\begin{aligned} \Delta u=\sum_{i=1}^n u_{x_ix_i}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

2、 Helmhotlz (特征) 方程

$$\begin{aligned} -\Delta u=\lambda u. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

3、线性传输方程

$$\begin{aligned} u_t+\sum_{i=1}^n b^i u_{x_i}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

4、 Liouville 方程

$$\begin{aligned} u_t-\sum_{i=1}^n \left(b^iu\right)_{x_i}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

5、热传导 (扩散) 方程

$$\begin{aligned} u_t-\Delta u=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

6、 Schrodinger 方程

$$\begin{aligned} \mathrm{ i} u_t+\Delta u=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

7、 Kolmogorov 方程

$$\begin{aligned} u_t-\sum_{i,j=1}^n a^{ij}u_{x_ix_j} +\sum_{i=1}^n b^iu_{x_i}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

8、 Fokker-Planck 方程

$$\begin{aligned} u_t-\sum_{i,j=1}^n \left(a^{ij}u\right)_{x_ix_j} +\sum_{i=1}^n \left(b^iu\right)_{x_i}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

9、波动方程

$$\begin{aligned} u_{tt}-\Delta u=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

10、 Klein-Gordon 方程

$$\begin{aligned} u_{tt}-\Delta u+m^2u=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

11、电报方程

$$\begin{aligned} u_{tt}+2du_t-u_{xx}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

12、一般波动方程

$$\begin{aligned} u_{tt}-\sum_{i,j=1}^n a^{ij}u_{x_ix_j}+\sum_{i=1}^n b^iu_{x_i}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

13、 Airy 方程

$$\begin{aligned} u_t+u_{xxx}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

14、梁方程

$$\begin{aligned} u_{tt}+u_{xxxx}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

非线性方程

1、程函 (eikonal) 方程

$$\begin{aligned} |Du|=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

2、非线性 Poisson 方程

$$\begin{aligned} -\Delta u=f(u). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

3、 $\displaystyle p$-Laplace 方程

$$\begin{aligned} \mathrm{ div}\left(|Du|^{p-2}Du\right)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

4、 Monge-Amp\'ere 方程

$$\begin{aligned} \det (D^2u)=f. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

5、 Hamilton-Jacobi 方程

$$\begin{aligned} u_t+H(Du,x)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

6、单个守恒律方程

$$\begin{aligned} u_t+\mathrm{ div}\vec{F}(u)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

7、无粘 Burgers 方程

$$\begin{aligned} u_t+uu_x=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

8、单个反应扩散方程

$$\begin{aligned} u_t-\Delta u=f(u). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

9、多孔介质方程

$$\begin{aligned} u_t-\Delta (u^\gamma)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

10、非线性波动方程

$$\begin{aligned} u_{tt}-\Delta u+f(u)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

11、 Korteweg-de Vries (KdV) 方程

$$\begin{aligned} u_t+uu_x+u_{xxx}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

12、非线性 Schrodinger 方程

$$\begin{aligned} \mathrm{ i} u_t+\Delta u=f\left(|u|^2\right)u. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

偏微分方程组(1.2.2)

线性方程组

1、线性弹性体的稳态方程组

$$\begin{aligned} \mu \Delta \vec{u}+(\lambda+\mu)D \mathrm{ div} \vec{u}=\vec{0}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

2、线性弹性体的发展方程组

$$\begin{aligned} \vec{u}_{tt}-\mu \Delta \vec{u}-(\lambda+\mu)D \mathrm{ div} \vec{u}=\vec{0}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

3、 Maxwell 方程组

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\vec{E}_t=\mathrm{ curl} \vec{B},\\ \vec{B}_t=-\mathrm{ curl} \vec{E},\\ \mathrm{ div} \vec{B}=\mathrm{ div} \vec{E}=0.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

非线性方程组

1、守恒律方程组

$$\begin{aligned} \vec{u}_t+\mathrm{ div} \vec{F}(\vec{u})=\vec{0}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

2、反应扩散方程组

$$\begin{aligned} \vec{u}_t-\Delta \vec{u}=\vec{f}(\vec{u}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

3、描述不可压无粘流的 Euler 方程组

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\vec{u}_t+\vec{u}\cdot D\vec{u}=-Dp,\\ \mathrm{ div} \vec{u}=0.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

4、描述不可压粘性流的 Navier-Stokes 方程组

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\vec{u}_t+\vec{u}\cdot D\vec{u}-\Delta \vec{u}=-Dp,\\ \mathrm{ div} \vec{u}=0.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

更多有趣的 PDE 请参考 \cite{Zw}.

研究偏微分方程的方法(1.3)

1、正如第 1.1 节解释的那样, 我们的目标是求解各式各样的 PDE. 但只要你看看第 1.2 节给出的那些例子, 就知道这不是件容易的事情. 所考虑问题的特殊结构决定了我们对’求解 PDE‘的态度: 是给出精确解, 还是只是证明它的存在性、唯一性和稳定性.

适定性, 经典解(1.3.1)

1、很多时候, 我们’求解 PDE‘是指研究解的适定性问题. 我们 PDE 是适定的, 如果

(1)、问题存在解;

(2)、解是唯一的;

(3)、解连续的依赖于所给定的已知数据.

2、最后一个条件对来自物理的 PDE 特别重要: 我们期待若已知数据变化小, 则 (唯一的) 解变化也不大. (有些时候, 解到底唯不唯一不重要. 毕竟主要的数学工作在于对解进行分类.)

3、综上, 我们’求解 PDE‘ 时, 要满足上面 (i)-(iii) 条. 不过目前我们并没有解释啥叫 PDE 的解. 我们是否要求解 $\displaystyle u$ 是实解析的, 或者至少 $\displaystyle C^\infty$? 一看就知道这要求太高了. 一般来说, 考虑 $\displaystyle k$ 阶 PDE, 我们要求解 $\displaystyle u$ 是 $\displaystyle k$ 次连续可导的. 这样, 出现在 PDE 中的 $\displaystyle u$ 及其各阶偏导数都是连续的. 这样的解 $\displaystyle u$ 我们称为 PDE 的经典解, 也是最容易想到的解的定义.

4、所以在经典意义下求解 PDE 是指:

(1)、给出经典解的表达式;

(2)、如果不行, 至少要验证解的存在性, 并推导它的诸多性质.

弱解与正则性(1.3.2)

1、但是我们能做到么? 对特殊的 PDE (比如 Laplace 方程), 以后我们将发现确实可以. 但是大部分情形, 我们做不到! 比如考虑单个守恒律方程

$$\begin{aligned} u_t+F(u)_x=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

我们将在第 3.4 节看到它与流体动力学的一维理论有关, 比如激波的产生与传播. 但这里, 激波是解 $\displaystyle u$ 的不连续点构成的曲线. 所以为了研究守恒律, 并发掘其物理规律, 我们当然要求 $\displaystyle u$ 未必连续可微, 甚至不连续. 事实上, 以后我们将看到, 守恒律方程一般没有经典解, 但是在恰当定义的广义解或弱解下是适定的.

2、至此, 你应该了解: 我们应放弃去求光滑的经典解, 而应将注意力转移至方程组的特殊结构中, 探讨其弱解的适定性问题. 事实上, 即使对经典意义下能求解的 PDE, 我们也是首先去找弱解, 再通过提升正则性得到经典解.

3、现在是关键点: 如果我们一开始就去寻找经典解, 比如 $\displaystyle C^k$ 解, 那我们必将很痛苦, 毕竟证明过程中我们要不断地验证解的光滑性. 更理性的一个策略是将存在性与光滑性 (正则性) 分开. 先去定义 PDE 在合适的意义下的某种弱解, 这样就更容易得到它的存在性、唯一性和连续依赖性.

4、上述弱解的存在性一般可在泛函分析的框架下得到. 再通过精细的微积分估计技巧去证明弱解确实为经典解.

5、你将看到一旦过了第 2-4 章, 我们就会将注意力集中与证明解的存在性, 而不是去导出求解公式. 这看起来是荒唐的, 但你将发现它将是可行的. 毕竟我们的目标主要是解的存在性.

困难所在(1.3.3)

1、以下的一般准则请时常记起:

(1)、非线性 PDE 比线性 PDE 难多了; 特别是: 非线性出现的阶数越高, 就越难.

(2)、高阶 PDE 必低阶 PDE 难.

(3)、方程组比方程更难.

(4)、自变量个数越多, 方程越难.

(5)、对于大部分 PDE 来说, 写出解的表达式简直就是痴心妄想!

当然, 凡事都有特例.

本书概观(1.4)

本书分为下面三个主要部分.

第 1 部分: 求解公式

1、这一部分我们给出了一些重要的 PDE, 它们的解或多或少都有明确的表达式: 从线性方程的直接求解公式到一大类非线性方程的解的表达式.

2、第 2章研究四大类方程的求解公式: 线性传输方程、Laplace 方程、热传导方程、波动方程. 这些 PDE 是以后要学的更为复杂的 PDE 的简化版本, 它们的解都有明确的表达式. 有时我们也给出能量估计, 引出后面第 6-7 章的学习.

3、第 3 章还是寻找解的表达式, 不过考虑的是一阶非线性 PDE. 关键点在于: 至少局部的, 一阶非线性 PDE 可化为常微分方程组 (ODE), 也即它的特征方程. 剩下的就只要对 ODE 积分了. 很多时候解都有明确的表达式. 特征方程的导出非常简单, 不用任何几何直观. 通过函数变换, 一阶非线性 PDE 可化为拟线性 PDE 组, 这又使得求解更为简单.

4、我们也将在第 3.3 节给出 Hamilton-Jacobi 方程的 Hopf-Lax 公式, 在第 3.4 解给出单个守恒律方程的 Lax-Oleinik 公式. (这样有点测度论的知识会好些, 但没有也行). 这些都是非线性 PDE 的整体解, 引出后面第 10-11 章的内容.

5、第 4 章抓了一把求解非线性与非线性 PDE 的求解办法. 感兴趣可以学学. 当然, Fourier 变换那是相当重要的, 好好学学. Cauchy-Kovalevskaya (C-K) 定理放在了最后, 这是解析理论, 理论上是重要的. 但它所涉及的幂级数法到时很少用.

第 2 部分: 线性 PDE 理论

1、现在开始, 我们放弃对解的表达式的追求, 而是依赖于泛函分析和一些党对简单的能量估计来证明各式各样的线性 PDE 弱解的存在性. 我们也将讨论弱解的唯一性、正则性, 及它的其他性质.

2、第 5 章介绍了 Sobolev 空间, 是通过能量方法研究线性与非线性 PDE 的适当框架. 这章比较难. 但学通后可打通任督二脉. 你如果有些 Lebesgue 测度的只是更好, 不懂的话看看附录 E 就足够了. 我并不认为只讨论 $\displaystyle p=2$ 情形的 Sobolv 空间会更好. 你看看重要的 Gagliardo-Nirenberg 不等式 (5.6.1) 和 Morrey 不等式 (5.6.2) 就知道了.

3、第 6 章我们将学过的 Laplace 方程的相关知识推广到一般的二阶椭圆型方程. 这里我们完整地证明了解的存在性、唯一性和正则性, 也讨论了极值原理, 特征值问题和非自伴算子的第一特征值问题.

4、第 7 章我们用能量方法研究线性演化方程, 将已有的 Laplace 方程与波动方程的知识分别拓展至一般椭圆与双曲型方程. 当然, 为了引出第 11 章非线性守恒律的研究, 我们也考虑了了线性一阶双曲型方程组. 最后的第 7.4 解我们给了另一个构造解的办法: 算子半群理论.

5、 (糟糕, 我们没有讨论分布理论及势理论. 它们是重要的课题, 但对本书来说可学可不学. 如此, 我们可以更快地进入非线性 PDE 的理论.)

第 3 部分: 非线性 PDE 理论

1、本部分内容与第 2 部分的非线性理论平行, 但方法上却没有统一处理. 毕竟我们要用迥异的方法处理各式各样的非线性问题.

2、第 8 章开启了非线性 PDE 的学习, 主要侧重点是变分法. 这里我们导出了极小函数存在性的直接法, 讨论了一系列 (带限制条件的) 变分问题, 及极小极大原理. 本章基础的, 因为变分法是研究非线性 PDE 的有用且有效的方法.

3、第 9 章与第 4 章类似, 汇集了求解诸多非线性椭圆/抛物型方程的技巧. 比如单调性方法、不动点方法. 它们基本上都是基于极值原理. 此外, 作为第 7 章线性算子半群理论的补充, 我们也探讨了非线性算子半群理论.

4、第 10 章是 Hamilton-Jacobi 方程现代理论的介绍. 特别地, 我们探讨了粘性解. 由此, 我们建立了与 ODE 最优控制、动态规划的联系.

5、第 11 章重拾第 3 章守恒律的介绍, 但考虑的是守恒律系统. 和第 5-9 章发展的、基于 Sobolev 空间为框架的理论不同, 这里我们主要依赖于线性代数和微积分计算. 值得关注的是 Riemann 问题和熵准则.

6、第 12 章介绍了非线性波动方程. 相比于第 1 版, 这是新加的内容. 我们研究了拟线性波动方程的长时间/段时间存在性问题; 并深入研究了半线性波动方程, 特别是三维空间中带次临界/临界非线性项的情形. 作为存在性结果的补充, 我们在最后一节给出了解不存在的判定准则.

7、为了读者方便, 附录 A-E 列出了一些背景材料, 不等式 (有些带证明), 线性泛函分析, 测度论等.

8、参考文献也加入了一些有趣的书籍. 因为这是一本教材, 而不是一本工具书, 我没有列出各种想法和技巧的源头文件. PDE 的数学理论太庞大了, 也许参考文献能让你窥见这些源头文件. (本书还时不时引用科研论文.)

问题(1.5)

PDE 分类(1.5.1)

将第 1.2 节的 PDE 按下述方式分类:

(1)、该 PDE 是线性、半线性、拟线性还是完全非线性的?

(2)、该 PDE 的阶为?

参考解答见 https://www.zhangzujin.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2295

光滑函数不同高阶偏导数的个数(1.5.2)

设 $\displaystyle k$ 是正整数. 试证定义在 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 上的光滑函数一般有

$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}n+k-1\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}n+k-1\\ n-1\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

个不同的 $\displaystyle k$ 阶偏导数. 参考解答见 https://www.zhangzujin.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2295 以下练习涉及附录 A 中的多重指标.

多项式定理(1.5.3)

证明多项式定理:

$$\begin{aligned} (x_1+\cdots+x_n)^k=\sum_{|\alpha|=k} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}|\alpha|\\\alpha\end{array}\right)x^\alpha, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中

$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}|\alpha|\\\alpha\end{array}\right)=\frac{|\alpha|!}{\alpha!}, \alpha!=\alpha_1\cdots \alpha_n!, x^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

且是对所有满足 $\displaystyle |\alpha|=k$ 的多重指标 $\displaystyle \alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 求和. 参考解答见 https://www.zhangzujin.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2295

莱布尼茨公式(1.5.4)

证明 Leibniz 公式

$$\begin{aligned} D^\alpha(uv)=\sum_{\beta\leq \alpha}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha\\\beta\end{array}\right)D^\beta u\cdot D^{\alpha-\beta}v, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle u, v: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ 光滑,

$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha\\\beta\end{array}\right)=\frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}, \beta\leq \alpha\Leftrightarrow \beta_i\leq \alpha_i\left(i=1,\cdots,n\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$