第1章习题参考解答

zhangzujin

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第1章习题参考解答

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1、  一根长为 $\displaystyle l$ 两端固定的弦, 如在中点把弦线提起, 使中点离开平衡位置的距离为 $\displaystyle a$, 然后把弦线轻轻放下, 使弦作微小横振动. 试列出弦振动所满足的定解问题.

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2、  设介质的阻力密度与速度的大小成正比, 试推导在此介质中柔软轻弦的微小横振动方程.

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3、  设长度为 $\displaystyle l$ 的均与弹性杆的线密度为 $\displaystyle \rho$, 杨氏模量为 $\displaystyle E$, 试列出在此介质中柔软轻弦的微小横振动方程 (参考 $\displaystyle \S 1.1$ 的附注 1).

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4、  长度为 $\displaystyle l$ 的弹性杆, 上端固定, 下端悬有质量为 $\displaystyle P$ 的重物, 列出其边界条件.

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5、  试证明圆锥杆的微小弦振动方程是

$$\begin{aligned} \rho \left(1-\frac{x}{h}\right)^2 \frac{\partial^2u}{\partial t^2} =E\frac{\partial}{\partial x}\left[\left(1-\frac{x}{h}\right)^2\frac{\partial u}{\partial x}\right], \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle h$ 是圆锥的高, $\displaystyle \rho,E$ 分别是它的密度与杨氏模量, 且 $\displaystyle \rho,E$ 为常数.

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6、  一杯 $\displaystyle 100^\circ$ 的开水放在木质的书桌上, 让它自然冷却, 室温为 $\displaystyle 37^\circ$, 试列出水的温度场 $\displaystyle u(x,y,z,t)$ 所满足的定解问题.

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7、  为了推断地球的年龄, 曾有人设想以下一个模型:  假设地球是由古时一团赤热的岩浆逐渐冷却而成的, 岩浆温度为 $\displaystyle 1200 ^\circ C$, 表面温度为 $\displaystyle 0^\circ C$, $\displaystyle a^2=\frac{k}{c\rho}=6\times 10^{-7} m^2/s$, 试列出地球冷却这个热传导过程所满足的定解问题.

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8、  试按本章 $\displaystyle \S 1.3$ 附注 1 中的说明, 列出分子在介质中的扩散所满足的偏微分方程.

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9、  半无界长杆的一段保持常温 $\displaystyle u_0$, 在杆的侧面和周围介质发生热交换. 介质为常温 $\displaystyle u_1$, 杆的初始温度为 $\displaystyle 0^\circ C$, 求杆的温度所满足的定解问题. 设杆均匀, 传热系数为 $\displaystyle k$, 热交换系数为 $\displaystyle \alpha$.

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10、  一条从西向东无限延伸的传送带, 运转速度为 $\displaystyle a$, 开始运转时传送带上空无一物, 然后在带的起点上通过升降机源源不断地以 $\displaystyle A(1+\sin \omega t)$ (kg) 的方式向传送带加煤, 试列出在煤的传送过程中, 煤的质量分布所满足的微分方程和定解条件 (提示:  煤的传输适合质量守恒定律).

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11、  写出连接平面上两点 $\displaystyle A,B$ 的短程线所满足的变分问题. 若 $\displaystyle A$ 的坐标为 $\displaystyle (0,0)$, $\displaystyle B$ 的坐标为 $\displaystyle (3,5)$, 试求出该变分问题的解.

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12、  求解变分问题:  求 $\displaystyle u\in M=\left\{y(x); y(x)\in C^1[0,1], y(1)=0\right\}$, 使得

$$\begin{aligned} J(u)=\min_{y\in M}J(y), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中

$$\begin{aligned} J(y)=\frac{1}{2}\int_0^1 [y'(x)]^2\mathrm{ d} x-2\int_0^1 y(x)\mathrm{ d} x-y(0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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13、  求 $\displaystyle u\in M=C^1[0,1]$, 使得

$$\begin{aligned} J(u)=\min_{y\in M}J(y), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中

$$\begin{aligned} J(y)=\frac{1}{2}\int_0^1 \left[{y'}^2+y^2\right]\mathrm{ d} x +\frac{1}{2}[y^2(0)+y^2(1)]-2y(0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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14、  设

$$\begin{aligned} J(v)=&\frac{1}{2}\int_\varOmega \left(|\nabla  v|^2+|v|^2\right)\mathrm{ d} x +\frac{1}{2}\int_{\partial \varOmega}\alpha(x)v^2\mathrm{ d} s -\int_\varOmega fv\mathrm{ d} x-\int_{\partial \varOmega}gv\mathrm{ d} s, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \alpha(x)\gt 0$, 考虑以下三个问题:

(1)、  问题 I (变分问题):  求 $\displaystyle u\in M$, 使得

$$\begin{aligned} J(u)=\min_{v\in M}J(v). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、  问题 II:  求 $\displaystyle u\in C^1(\overline{\varOmega})$, 使得它对于任一 $\displaystyle v\in M$, 都满足

$$\begin{aligned} \int_\varOmega \left(\nabla  u\cdot \nabla  v+u\cdot v-fv\right)\mathrm{ d} x +\int_{\partial\varOmega} \left[\alpha(x)uv-gv\right]\mathrm{ d} s=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(3)、  问题 III (第三边值问题):  求 $\displaystyle u\in C^2(\varOmega)\cap C^1(\overline{\varOmega})$, 满足以下边值问题

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}-\Delta u+u=f,&x\in\varOmega,\\ \frac{\partial u}{\partial n}+\alpha(x)u=g,&x\in \partial\varOmega.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(1)、  证明问题 I 与问题 II 等价.

(2)、  当 $\displaystyle u\in C^2(\varOmega)\cap C^1(\overline{\varOmega})$ 时, 证明问题 I、问题 II、问题 III 等价.

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15、  试选取辅助函数 $\displaystyle w(x,t)$, 按指定要求简化下述方程或定解问题:

(1)、  作函数变换 $\displaystyle u=v+w$, 其中 $\displaystyle v$ 是新的未知函数, 把下面定解问题中的边界条件化为齐次的:

(1-1)、  $\displaystyle \left\{\begin{array}{llllllllllll}u_{tt}=a^2u_{xx},&x\gt 0, t\gt 0,\\ u_x(0,t)=g(t),&t\gt 0,\\ u(x,0)=\phi(x), u_t(x,0)=\psi(x),&x\gt 0;\end{array}\right.$

(1-2)、  $\displaystyle \left\{\begin{array}{llllllllllll}u_{tt}=a^2u_{xx},&0\lt x\lt l, t\gt 0,\\ u(0,t)=g_1(t), u(l,t)=g_2(t),&t\gt 0,\\ u(x,0)=\phi(x), u_t(x,0)=\psi(x), &0\leq x\leq l.\end{array}\right.$

(1-3)、  $\displaystyle \left\{\begin{array}{llllllllllll}u_{tt}=a^2u_{xx},&0\lt x\lt l, t\gt 0,\\ -u_x(0,t)=g_1(t), u_x(l,t)+u(l,t)=g_2(t),&t\gt 0,\\ u(x,0)=\phi(x), u_t(x,0)=\psi(x),&0\leq x\leq l.\end{array}\right.$

(2)、  作函数代换 $\displaystyle u=v+w$ 把定解问题

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}u_t=u_{xx}+f(x),&0\lt x\lt l, t\gt 0,\\ u(0,t)=0, u(l,t)=0,&t\gt 0,\\ u(x,0)=\phi(x),&0\leq x\leq l\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

中方程化为齐次的, 且保持齐次边界条件.

(3)、  作函数代换 $\displaystyle u=vw$ (其中 $\displaystyle v$ 是新的未知函数), 把方程

$$\begin{aligned} u_t-u_{xx}+au_x+bu=f(x,t) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

($a,b$ 为常数) 化成

$$\begin{aligned} v_t-v_{xx}=\tilde{f}(x,t) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

的形式.

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16、

(1)、  证明在自变量代换

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\xi=x-at,\\ \eta=x+at\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

下, 波动方程 $\displaystyle u_{tt}-a^2u_{xx}=0$ 具有形式

$$\begin{aligned} u_{\xi\eta}=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

并由此求出波动方程的通解.

(2)、  证明在自变量代换

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\xi=x-at,\\ \tau=t\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

下, 方程 $\displaystyle u_t+\alpha u_x=a^2u_{xx}$ 具有形式

$$\begin{aligned} u_\tau=a^2u_{\xi\xi}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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17、  若 $\displaystyle u$ 是 Laplace 方程 $\displaystyle \Delta u=0$ 的解, 如果 $\displaystyle u(x)$ 只是向径 $\displaystyle r=|x|$ 的函数, 即 $\displaystyle u(x)=\tilde{u}(r)$, 试写出 $\displaystyle \tilde{u}(r)$ 适合的常微分方程.

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18、  如果 $\displaystyle u$ 是热传导方程 $\displaystyle u_t-a^2u_{xx}=0$ 的解, 若 $\displaystyle u$ 只是组合变量 $\displaystyle \xi=\frac{x}{\sqrt{t}}$ 的函数, 即 $\displaystyle u(x,t)=\tilde{u}(\xi)$, 试写出 $\displaystyle \tilde{u}(\xi)$ 满足的常微分方程. 由此解定解问题

$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}u_t=a^2u_{xx},&x\gt 0, t\gt 0,\\ u|_{x=0}=0,&t\gt 0,\\ u|_{t=0}=u_0,&x\gt 0,\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle u_0$ 是常数.

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19、  在上面第 7 题的地球形成的模型当中, 假定地球充满上半空间 $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}, z\gt 0$, 现在

$$\begin{aligned} \left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{z=0}=3\times 10^{-2} K/m, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试求出地球的年龄.