集合
1.2 集合的运算
1、 以下错误的是 $\displaystyle (\quad )$.
A. $A\backslash B=A\backslash (A\cap B)$
B. $\displaystyle A\backslash B=(A\cup B)\backslash B$
C. $\displaystyle A\backslash (B\cup C)=(A\backslash B)\cup(A\backslash C)$
D. $\displaystyle (A\cup B)\backslash C=(A\backslash C)\cup (B\backslash C)$
2、 以下错误的是 $\displaystyle (\quad )$.
A. $A\cap (B\backslash C)=(A\cap B)\backslash (A\cap C)$
B. $\displaystyle A\backslash(A\backslash B)=B$
C. $\displaystyle (A\backslash B)\backslash C=A\backslash(B\cup C)$
D. $\displaystyle A\backslash(B\backslash C)=(A\backslash B)\cup (A\cap C)$
3、 以下错误的是 $\displaystyle (\quad )$.
A. $(A\backslash B)\cap (C\backslash D)=(A\cap C)\backslash (B\cup D)$
B. $\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
C. $\displaystyle \bigcup_{\lambda\in \varLambda}A_\alpha\backslash B=\bigcup_{\lambda\in\varLambda}(A_\lambda\backslash B)$
D. $\displaystyle B\backslash \bigcup_{\lambda\in \varLambda}A_\alpha=\bigcup_{\lambda\in\varLambda}(B\backslash A_\lambda)$
4、 设 $\displaystyle A_n=\left\{\begin{array}{llllllllllll} \left[0,2-\frac{1}{2m+1}\right],&n=2m+1\\ \left[0,1+\frac{1}{2m}\right],&n=2m \end{array}\right.$, 则 $\varlimsup_{n\to\infty}A_n$ 与 $\displaystyle \varliminf_{n\to\infty}A_n$ 分别为 $\displaystyle (\quad )$
A. $\displaystyle [0,2)$, $[0,1)$
B. $\displaystyle [0,2)$, $[0,1]$
C. $\displaystyle [0,2]$, $(0,1]$
D. $\displaystyle [0,2]$, $[0,1]$
5、 设 $\displaystyle A_n=\left(0,\frac{1}{n}\right)$, 则 $\lim_{n\to\infty}A_n=(\quad )$.
A. $\varnothing$
B. $\displaystyle (0,1)$
C. $\displaystyle \left\{0\right\}$
D. 以上都不正确
6、 设 $\displaystyle A_n=\left(-n,n\right)$, 则 $\lim_{n\to\infty}A_n=(\quad )$.
A. $\mathbb{R}$
B. $\displaystyle (-1,1)$
C. $\displaystyle A_n$
D. 以上都不正确
7、 设 $\displaystyle A,B$ 为集合, 则 $\displaystyle (A\backslash B)\cup B$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ $\displaystyle A\cup B$. (选填: 包含于, 等于, 包含)
8、 设 $A,B$ 为集合, 则 $\displaystyle (A\backslash B)\cup B$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ $\displaystyle A$. (选填: 包含于, 等于, 包含)
9、 设 $A,B$ 为集合, 则 $\displaystyle (A\backslash B)\cup B$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ $\displaystyle B$. (选填: 包含于, 等于, 包含)
10、 $\bigcup_{n=1}^\infty \left[a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}\right]=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
11、 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty \left(a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n}\right)=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
12、 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty \left\{x; \left|\sin 2\pi x\right|\gt\frac{1}{n}\right\}=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (选填: 偶数集, 奇数集, 整数集)
13、 设 $\displaystyle D(x)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 Dirichlet 函数, 则
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$$\begin{aligned} \bigcap_{n=1}^\infty \left\{x\in\mathbb{R}; D(x)\lt \frac{1}{n}\right\}=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(选填: 无理数集, 有理数集, 实数集)
14、 设 $\displaystyle D(x)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 Dirichlet 函数, 则
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} \bigcap_{n=1}^\infty \left\{x\in\mathbb{R}; D(x)\gt 1-\frac{1}{n}\right\}=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(选填: 无理数集, 有理数集, 实数集)
15、 设 $\displaystyle \mathrm{sgn}(x)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的符号函数, 则
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in \mathbb{R}; \mathrm{sgn}(x)\gt\frac{1}{n}\right\}=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(选填: 原点, 正实数集, 负实数集, 非负实数集)
1.3 对等与基数
1、 设 $\displaystyle A,B$ 是集合, 则 $\displaystyle A\subset B$ 是 $\displaystyle \overline{\overline{A}}\leq \overline{\overline{B}}$ 的 $\displaystyle (\quad )$ 条件.
A. 充分
B. 必要
C. 充要
D. 既非充分也非必要
2、 (南京师大复试) 单位圆周上的点集与 $\displaystyle [0,2\pi)$ 对等. $\displaystyle (\quad )$
3、 函数 $\displaystyle f(x)=x-[x]$ 给出了 $\displaystyle (0,1]$ 到 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 的一个对等.
4、 函数 $\displaystyle f(x)=\tan x$ 给出了 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 到 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 的一个对等.
5、 函数 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{\pi}\arctan x$ 给出了 $\displaystyle \mathbb{R}$ 到 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 的一个对等.
1.4 可数集合
1、 如果集合 $\displaystyle A$ 与正整数集 $\displaystyle \mathbb{Z}^+$ 对等, 则称 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 集. (选填: 有限, 可数, 至多可数, 不可数)
2、 自然数集 $\displaystyle \mathbb{N}$ 是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 集. (选填: 有限, 可数, 至多可数, 不可数)
3、 整数集 $\displaystyle \mathbb{Z}$ 是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 集. (选填: 有限, 可数, 至多可数, 不可数)
4、 有理数集 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 集. (选填: 有限, 可数, 至多可数, 不可数)
5、 无理数集是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 集. (选填: 有限, 可数, 至多可数, 不可数)
6、 实数集 $\displaystyle \mathbb{R}$ 是$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 集. (选填: 有限, 可数, 至多可数, 不可数)
7、 整系数多项式全体是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 集. (选填: 有限, 可数, 至多可数, 不可数)
8、 代数数集是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 集. (选填: 有限, 可数, 至多可数, 不可数)
9、 直线上互不相交的开区间族是$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 集. (选填: 有限, 可数, 至多可数, 不可数)
10、 单调递增函数的不连续点集是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 集. (选填: 有限, 可数, 至多可数, 不可数)
11、 单调递减函数的不连续点集是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 集. (选填: 有限, 可数, 至多可数, 不可数)
12、 $\displaystyle \overline{\overline{\left\{2k-1;k\in \mathbb{Z}_+\right\}}}=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle \overline{\overline{\left\{2k;k\in \mathbb{Z}_+\right\}}}=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle \overline{\overline{\mathbb{Q}}}=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (选填: $\displaystyle a$, $c$)
1.5 不可数集合
1、 以下论述正确是 $(\quad )$.
A. 有限个有限集的并是有限集.
B. 可数个可数集的并是可数集.
C. $c$ 个具有连续基数的集的并也具有连续基数.
D. 以上都正确.
2、 不可数集具有连续基数. $\displaystyle (\quad )$
3、 基数为 $\displaystyle a$ 的集合一定是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, 基数为 $c$ 的集合一定是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (选填: 可数集, 不可数集)
4、 实数集的基数为 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$; 无理数全体的基数为 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$; 超越数全体的基数为 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
点集
2.1 度量空间, $n$ 维欧氏空间
1、 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 中, 用 $\displaystyle U(P;\delta)$ 表示以 $\displaystyle P$ 为心, $\displaystyle \delta\gt 0$ 为半径的球形邻域. 则 $\displaystyle (2020,2022)=U(\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ },\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ })$.
2、 在 $\mathbb{R}^2$ 中, 子集 $\displaystyle \left\{(x,e^x);x\in\mathbb{R}\right\}$ 与 $\displaystyle x$ 轴的距离为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$; 子集 $[0,4]\times [0,3]$ 的直径为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
2.2 聚点, 内点, 完备集
1、 点集 $E$ 的内点必是 $\displaystyle (\quad )$.
A. $E$ 的外点
B. $\displaystyle E$ 的界点
C. $\displaystyle E$ 的聚点
D. $\displaystyle E$ 的孤立点
2、 以下关于聚点的描述中, 哪个是错误的. $\displaystyle (\quad )$
A. $\displaystyle x_0$ 是 $\displaystyle E$ 的聚点, 如果 $\displaystyle x_0$ 的任一邻域内含有无穷多个属于 $\displaystyle E$ 的点.
B. $\displaystyle x_0$ 是 $\displaystyle E$ 的聚点, 如果 $\displaystyle x_0$ 的任一去心邻域内至少含有一个属于 $\displaystyle E$ 的点.
C. $\displaystyle x_0$ 是 $\displaystyle E$ 的聚点, 如果存在 $\displaystyle E$ 中互异的点列 $\displaystyle x_n$, 使得 $x_n\to x_0$.
D. $x_0$ 是 $\displaystyle E$ 的聚点, 如果存在 $\displaystyle E$ 中的点列 $\displaystyle x_n$, 使得 $x_n\to x_0$.
3、 下列等式不成立的是 $(\quad )$.
A. $E^{c-}=E^{oc}$
B. $\displaystyle E^{co}=E^{-c}$
C. $\displaystyle E^o=\partial E$
D. $\displaystyle (A\cup B)^-=A^-\cup B^-$
4、 (南京师大复试) 若 $\displaystyle \partial E\neq \varnothing$, 则 $E$ 必有孤立点. $\displaystyle (\quad )$
5、 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 中, 设 $\displaystyle E=(a,b]$, 则 $E^o=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle E'=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle E^-=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle \partial E=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
6、 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 中, 设 $\displaystyle E=\mathbb{Q}$, 则 $E^o=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle E'=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle E^-=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle \partial E=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (选填: 空集, 有理数集, 无理数集, 实数集)
7、 (南京师大复试) 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 中, 设 $\displaystyle E=\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$, 则 $E^o=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle E'=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle E^-=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle \partial E=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
8、 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 中, $\displaystyle \left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots\right\}$ 的聚点为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
9、 (南京师大复试) 令 $E$ 表示函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin \frac{\pi}{x}}$ 的所有间断点组成的集合, 则 $\displaystyle E'=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle E^o=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
10、 对 $\displaystyle y\in [-1,1]$, 令 $E_y=\left\{(x,y);y=\sin \frac{1}{x}\right\}$, 则 $E_y'=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
11、 在 $\displaystyle \mathbb{R}^2$ 中, 设 $\displaystyle E=\left\{(x,y);x^2+y^2\lt 1\right\}$, 则
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} &E^\circ=\left\{(x,y); x^2+y^2\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } 1\right\},\\ &E'=\left\{(x,y); x^2+y^2\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } 1\right\},\\ &\bar{E}=\left\{(x,y); x^2+y^2\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } 1\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
2.3 开集, 闭集, 完备集
1、 设 $E\subset \mathbb{R}^n$, 则 $E$ 是开集 $\displaystyle \Leftrightarrow$ $(\quad )$, $\displaystyle E$ 是闭集 $\displaystyle \Leftrightarrow$ $(\quad )$, $\displaystyle E$ 是自密集 $\displaystyle \Leftrightarrow$ $(\quad )$, $\displaystyle E$ 是完备集 $\displaystyle \Leftrightarrow$ $(\quad )$.
A. $\displaystyle E'\supset E$
B. $\displaystyle E^o=E$
C. $\displaystyle E'\subset E$
D. $\displaystyle E'=E$
2、 任意多个开集的交还是开集. $\displaystyle (\quad )$
3、 任意多个闭集的并还是闭集. $\displaystyle (\quad )$
4、 两个非空无交闭集的距离大于零. $\displaystyle (\quad )$
5、 若 $\displaystyle E$ 的聚点都属于 $\displaystyle E$, 则称 $E$ 是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
6、 在 $\mathbb{R}^2$ 中, $\displaystyle \left\{(x,0);-1\lt x\lt 1\right\}$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 开集.
7、 $\displaystyle \left\{(x,0);-1\leq x\leq 1\right\}$ $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 闭集. (选填: 是, 不是)
2.4 直线上的开集, 闭集及完备集的构造
1、 设 $\displaystyle O$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 中的开集, 若 $\displaystyle (\alpha,\beta)\subset O$, $\alpha,\beta\not\in O$, 则称区间 $(\alpha,\beta)$ 为 $\displaystyle O$ 的 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
2、 在 $\mathbb{R}$ 中, 开集 $\displaystyle O=(1,3)\cup (3,5)\cup(6,+\infty)$ 包含 $\displaystyle 2$ 的构成区间是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$; 包含 $4$ 的构成区间是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$; 包含 $7$ 的构成区间是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
3、 没有孤立点的闭集称为 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
4、 在 $\mathbb{R}$ 中, $\displaystyle [1,2]\cup\left\{3\right\}$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 完备集. (选填: 是, 不是)
2.5 Cantor 三分集
1、 下列哪个性质不为 Cantor 集 $\displaystyle P$ 所具有 $\displaystyle (\quad )$
A. 测度为零
B. 与 $\displaystyle \mathbb{R}$ 对等
C. 是完备集
D. $\displaystyle P^{-o}\neq\varnothing$
2、 设 $\displaystyle P$ 是 Cantor 集, 则 $\displaystyle 1/4\in P$. $(\quad )$
3、 设 $\displaystyle P$ 是 Cantor 集, 则 $\displaystyle 1/13\in P$. $(\quad )$
4、 设 $\displaystyle P$ 是 Cantor 集, 则 $\displaystyle 1/40\in P$. $(\quad )$
5、 (南京师大复试) 设 $\displaystyle P$ 是 Cantor 集, 则 $\displaystyle \overline{\overline{P}}=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle mP=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
测度论
3.1 外测度
1、 若 $\displaystyle E$ 有界, 则 $\displaystyle m^\star E\lt \infty$. $(\quad )$
2、 若 $\displaystyle m^\star E\lt \infty$, 则 $E$ 有界. $\displaystyle (\quad )$
3、 可数点集的外测度为 $\displaystyle 0$. $(\quad )$
4、 外测度为 $\displaystyle 0$ 的集合是可数集. $\displaystyle (\quad )$
5、 若 $\displaystyle E\subset \mathbb{R}^n$ 是可数集, 则 $\displaystyle m^\star E$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ $\displaystyle 0$. (选填: 大于, 等于, 大于等于)
3.2 可测集
1、 设 $E=\left\{x\in [0,1];\ x\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\right\}$, 则 $(\quad )$ 不正确.
A. $\displaystyle E$ 是不可数集
B. $\displaystyle E$ 是闭集
C. $\displaystyle E$ 没有内点
D. $\displaystyle mE=1$
2、 (南京师大复试) 若 $\displaystyle A\subset E$, $A,E$ 均可测, 且 $\displaystyle mE=mA$, 则 $m(E\backslash A)=0$. $(\quad )$
3、 若对 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的开区间 $\displaystyle I$, 都有 $|I|=m^\star (I\cap E)+m^\star (I\cap E^c)$, 则 $E$ 可测. $\displaystyle (\quad )$
4、 超越数全体可测. $\displaystyle (\quad )$
5、 若 $\displaystyle \left\{E_n\right\}$ 是递减可测集列, 则
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}mE_n=m\left(\lim_{n\to\infty}E_n\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle (\quad )$
6、 设 $\displaystyle E_1,E_2$ 为可测集, 则 $\displaystyle m(E_1\cup E_2)$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ $\displaystyle m(E_1)+m(E_2)$. (选填: 小于等于, 等于, 大于等于)
7、 设 $E_1,E_2$ 为互不相交的可测集, 则 $\displaystyle m(E_1\cup E_2)$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ $\displaystyle m(E_1)+m(E_2)$. (选填: 小于等于, 等于, 大于等于)
8、 设可测集 $E_1$, $E_2$ 满足 $\displaystyle E_2\subset E_1$, $mE_2\lt +\infty$, 则 $m(E_1\backslash E_2)$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ $\displaystyle m(E_1)-m(E_2)$. (选填: 小于等于, 等于, 大于等于)
9、 (南京师大复试) 设 $\left\{E_n\right\}$ 为可测集, 则 $\displaystyle m\left(\varliminf_{n\to\infty}E_n\right)$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ $\displaystyle \varliminf_{n\to\infty}m E_n$. (选填: 小于等于, 等于, 大于等于)
10、 (南京师大复试) 设 $\left\{E_n\right\}$ 为可测集, 且
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} m\left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\right)\lt \infty, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle m\left(\varlimsup_{n\to\infty}E_n\right)$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ $\displaystyle \varlimsup_{n\to\infty}m E_n$. (选填: 小于等于, 等于, 大于等于)
11、 (南京师大复试) 设 $E$ 为 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的有理数所组成的集合, 则 $\displaystyle mE=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle E$ 的基数为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
3.3 可测集类
1、 可数个 $F_\sigma$ 集的交是可测集. $\displaystyle (\quad )$
2、 有理数集是可数集, 也是可测集. $\displaystyle (\quad )$
3、 Cantor 是可数集, 也是可测集. $\displaystyle (\quad )$
4、 以下说法错误的是 $\displaystyle (\quad )$
A. 可测集的补集是可测集
B. 任意多个可测集的并集是可测集
C. Borel 集是可测集
D. 可数个可测集的交集是可测集
5、 (南京师大复试) 设 $\displaystyle E$ 表示区间 $\displaystyle I$ 上的单调函数 $\displaystyle f(x)$ 的不连续点的集合, 则 $\displaystyle mE=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
3.4 总复习题
1、 外测度的定义 $\displaystyle m^\star E=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
2、 外测度的三个性质: $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$; $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$; $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
3、 可测集的三个等价定义:
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} E\in \mathscr{M}&\Leftrightarrow (\mbox{Carathedory 条件}) \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ &\Leftrightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ &\Leftrightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
4、 可测集的性质:
(1)、 $E\in \mathscr{M}\Leftrightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \in \mathscr{M}$;
(2)、 $\left\{E_i\right\}_{i=1}^\infty \subset \mathscr{M} \Rightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \in \mathscr{M}$;
(3)、 可数可加性: $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$;
(4)、 $\mathscr{M}\ni E_n\nearrow \Rightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$;
(5)、 $\left.\begin{array}{r} \mathscr{M}\ni E_i\searrow\\ mE_1\lt +\infty\end{array}\right\}\Rightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
5、 可测集的例子:
(1)、 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$;
(2)、 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$;
(3)、 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$;
(4)、 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
6、 可测集的构造:
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} E\in \mathscr{M}\Rightarrow E=\left\{\begin{array}{llllllllllll} \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\backslash \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \cup \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \end{array}\right.. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
7、 测度的正规性:
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} E\in \mathscr{M}\Rightarrow mE=\left\{\begin{array}{llllllllllll} \inf\left\{\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\right\}\\ \sup\left\{\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\right\} \end{array}\right.. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
可测函数
4.1 可测函数及其性质
1、 以下关于可测函数的描述中, 哪些是错误的. $(\quad )$
A. $\displaystyle f$ 在可测集 $\displaystyle E$ 上可测 $\displaystyle \Leftrightarrow \forall\ c\in\mathbb{R}$, 集合 $E[f\gt c]$ 可测.
B. $\displaystyle f$ 在可测集 $\displaystyle E$ 上可测 $\displaystyle \Leftrightarrow \forall\ c\in\mathbb{R}$, 集合 $E[f\lt c]$ 可测.
C. $\displaystyle f$ 在可测集 $\displaystyle E$ 上可测 $\displaystyle \Leftrightarrow \forall\ c\in\mathbb{R}$, 集合 $E[f=c]$ 可测.
D. $\displaystyle f$ 在可测集 $\displaystyle E$ 上可测 $\displaystyle \Leftrightarrow \forall\ c,d\in\mathbb{R}$ ($c\lt d$), 集合 $\displaystyle E[c\leq f\lt d]$ 可测.
2、 以下关于可测函数的描述中, 哪个是错误的. $\displaystyle (\quad )$
A. $\displaystyle f$ 在可测集 $\displaystyle E$ 上可测 $\displaystyle \Leftrightarrow \forall\ c\in\mathbb{R}$, 集合 $E[f\gt c]$ 可测.
B. $\displaystyle f$ 在可测集 $\displaystyle E$ 上可测 $\displaystyle \Leftrightarrow \forall\ c\in\mathbb{R}$, 集合 $E[f\leq c]$ 可测.
C. $\displaystyle f$ 在可测集 $\displaystyle E$ 上可测 $\displaystyle \Leftrightarrow f^+,f^-$ 可测.
D. $\displaystyle f$ 在可测集 $\displaystyle E$ 上可测 $\displaystyle \Leftrightarrow |f|$ 可测.
3、
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} E[f\gt a]=\bigcap_{n=1}^\infty(\quad ). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} E[f\leq a]=\bigcap_{n=1}^\infty(\quad ). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} E[f\gt a]=\bigcup_{n=1}^\infty(\quad ). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} E[f\lt a]=\bigcup_{n=1}^\infty(\quad ). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
A. $\displaystyle E[f\leq a-\frac{1}{n}]$
B. $\displaystyle E[f\gt a-\frac{1}{n}]$
C. $\displaystyle E[f\leq a+\frac{1}{n}]$
D. $\displaystyle E[f\gt a+\frac{1}{n}]$
4、
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} E[f\gt a]=\bigcap_{n=1}^\infty(\quad ). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} E[f\leq a]=\bigcap_{n=1}^\infty(\quad ). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} E[f\gt a]=\bigcup_{n=1}^\infty(\quad ). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} E[f\lt a]=\bigcup_{n=1}^\infty(\quad ). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
A. $\displaystyle E[f\lt a-\frac{1}{n}]$
B. $\displaystyle E[f\gt a-\frac{1}{n}]$
C. $\displaystyle E[f\lt a+\frac{1}{n}]$
D. $\displaystyle E[f\gt a+\frac{1}{n}]$
5、 设 $\displaystyle f: E\to\mathbb{\bar{R}}$ 是可测函数, 则存在简单函数列 $\displaystyle (\quad )$ 趋于 $\displaystyle f$; 若 $f$ 是非负的, 则存在简单函数列 $\displaystyle (\quad )$ 趋于 $\displaystyle f$; 若 $f$ 是有界的, 则存在简单函数列 $\displaystyle (\quad )$ 趋于 $\displaystyle f$.
A. 递增
B. 一致
C. 逐点
D. 递减
6、 设 $f(x)$ 是 $\displaystyle [a,b]$ 上的函数, 则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上 $\displaystyle \mbox{a.e.}$ 可导是 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上 $\displaystyle \mbox{a.e.}$ 连续的 $\displaystyle (\quad )$ 条件.
A. 充分
B. 必要
C. 充要
D. 既非充分也非必要
7、 有限函数是有界函数. $\displaystyle (\quad )$
8、 可测集上的连续函数是可测函数. $\displaystyle (\quad )$
9、 简单函数是可测函数. $\displaystyle (\quad )$
10、 设 $\displaystyle \phi,\psi$ 为简单函数, 则 $\displaystyle \phi+\psi$, $\phi-\psi$, $\phi\cdot\psi$ 也是简单函数. $\displaystyle (\quad )$
11、 设 $\displaystyle \phi,\psi$ 为简单函数, 则 $\displaystyle |\phi|, \max\left\{\phi,\psi\right\}, \min\left\{\phi,\psi\right\}$ 也是简单函数. $\displaystyle (\quad )$
12、
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$$\begin{aligned} f(x)=\sum_{i=1}^\infty i\cdot \chi_{[i,i+1)}(x) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是 $\displaystyle [1,\infty)$ 上的简单函数, 其中 $\displaystyle \chi_E(x)$ 表示 $\displaystyle E$ 的特征函数 $\displaystyle \chi_E(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}1,x\in E\\ 0,x\not\in E\end{array}\right.$. $(\quad )$
13、 设 $\displaystyle E\subset [a,b]$ 是可测集, 则 $\displaystyle E$ 上的特征函数是 $\displaystyle [a,b]$ 上的连续函数. $\displaystyle (\quad )$
14、 设 $\displaystyle f: E\to \mathbb{\bar{R}}$ 是可测函数, $\displaystyle A\subset E$, 则 $f$ 也是 $\displaystyle A$ 上的可测函数. $\displaystyle (\quad )$
15、 (南京师大复试) 若 $\displaystyle f(x)$ 是可测集 $\displaystyle E$ 上的实函数, 且对任意有理数 $\displaystyle r$, $E[f=r]$ 可测, 则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle E$ 上可测. $\displaystyle (\quad )$
16、 设 $\displaystyle f_n: [a,b]\to\mathbb{R}$ 是连续函数列, 则 $\displaystyle \varlimsup_{n\to\infty}f_n$ 也是 $\displaystyle [a,b]$ 上的连续函数. $\displaystyle (\quad )$
17、 设 $\displaystyle f_n: E\to\mathbb{\bar{R}}$ 是可测函数列, 则 $\displaystyle \varlimsup_{n\to\infty}f_n$ 也是 $\displaystyle E$ 上的可测函数. $\displaystyle (\quad )$
18、 Dirichlet 函数几乎处处等于 $\displaystyle 0$. $(\quad )$
19、 实轴上的点几乎处处都是无理点. $\displaystyle (\quad )$
20、 $\displaystyle \sin x$ 不是处处小于, 但几乎处处小于 $\displaystyle 1$. $(\quad )$
4.2 Egrov 定理
1、 设 $\displaystyle f_k (k=1,2,\cdots), f$ 均是 $\displaystyle E$ 上的有限函数, 则
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$$\begin{aligned} E\left[\lim_{k\to\infty}|f_k-f|\neq 0\mbox{ 或极限不存在}\right]=(\quad ). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
A. $\displaystyle \bigcup_{j=1}^\infty \bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{k=1}^\infty E\left[|f_k-f|\gt \frac{1}{j}\right]$
B. $\displaystyle \bigcup_{j=1}^\infty \bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{k=N}^\infty E\left[|f_k-f|\gt \frac{1}{j}\right]$
C. $\displaystyle \bigcap_{j=1}^\infty \bigcup_{N=1}^\infty \bigcup_{k=N}^\infty E\left[|f_k-f|\lt \frac{1}{j}\right]$
D. $\displaystyle \bigcup_{j=1}^\infty \bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{k=N}^\infty E\left[|f_k-f|\lt \frac{1}{j}\right]$
2、 若对 $\displaystyle \forall\ j\in\mathbb{Z}_+$, 都给定了 $N_j\in\mathbb{Z}_+$, 则 $f_k$ 在集合
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} \bigcap_{j=1}^\infty \bigcap_{k=N_j}^\infty E\left[|f_k-f|\lt \frac{1}{j}\right] \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
上 $\displaystyle (\quad )$.
A. 收敛
B. 一致收敛
C. 基本上一致收敛
D. 几乎处处收敛
3、 若 $\mbox{a.e.}$ 有限的可测函数列 $\displaystyle \left\{f_k\right\}$ 在可测集 $\displaystyle E$ 上$\mbox{a.e.}$ 收敛于 $\displaystyle \mbox{a.e.}$ 有限的函数 $\displaystyle f$, 则
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$$\begin{aligned} &\forall\ \delta\gt 0,\ \exists\ E_\delta\subset E,\ mE_\delta\lt \delta,\mathrm{ s.t.}\\ &f_k\rightrightarrows f\mbox{ 于 }E\backslash E_\delta\mbox{ 上}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$(\quad )$
4.3 可测函数的构造
1、 简单函数是连续函数. $\displaystyle (\quad )$
2、 设 $\displaystyle \left\{F_i\right\}_{i=1}^j$ 是两两不交的闭集, 则简单函数 $\displaystyle \phi(x)=\sum_{i=1}^j c_i\chi_{F_i}(x)$ 是连续函数. $\displaystyle (\quad )$
4.4 依测度收敛
1、 若 $\displaystyle f_k\Rightarrow f$, 则 $f_k$ 有一子列 $\displaystyle f_{k_j}\to f$, $\mbox{a.e.}$. $(\quad )$
2、 若 $\displaystyle f_k\to f$, $\mbox{a.e.}$, 则 $f_k\Rightarrow f$. $(\quad )$
3、 设 $\displaystyle f_k\Rightarrow f$, $g_k\Rightarrow g$, 则 $|f_k|\Rightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $f_k+g_k\Rightarrow\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\max\left\{f_k,g_k\right\}\Rightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\min\left\{f_k,g_k\right\}\Rightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $-f_k\Rightarrow$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
积分论
5.3 非负可测函数的 Lebesgue 积分
1、 设 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的可测集, $\displaystyle \varphi(x)$ 是 $\displaystyle E$ 上的简单函数, 则 $\displaystyle (\quad )$
A. $\displaystyle \varphi(x)$ 是 $\displaystyle E$ 上的连续函数
B. $\displaystyle \varphi(x)$ 是 $\displaystyle E$ 上的单调函数
C. $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle E$ 上一定 Lebesgue 可积
D. $\displaystyle \varphi(x)$ 是 $\displaystyle E$ 上的可测函数
2、 非负简单函数一定 Lebesgue 可积. $\displaystyle (\quad )$
3、 定义在测度有限的可测集上的非负简单函数一定可积. $\displaystyle (\quad )$
4、 设 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 中的可测集, $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle E$ 上的非负可测函数, 若 $\displaystyle \int_Ef(x)\mathrm{ d} x\lt +\infty$, 则 $(\quad )$
A. 在 $\displaystyle E$ 上, $\displaystyle f(x)$ 是有限函数
B. 在 $\displaystyle E$ 上, $\displaystyle f(x)$ 是有界函数
C. 在 $\displaystyle E$ 上, $\displaystyle f(x)$ 几乎处处有限
D. 在 $\displaystyle E$ 上, $\displaystyle f(x)$ 是无界函数
5.4 一般可测函数的 Lebesgue 积分
1、 设 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 中的可测集, $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle E$ 上的可测函数, 若 $\displaystyle \int_Ef(x)\mathrm{ d} x=0$, 则 $(\quad )$
A. 在 $\displaystyle E$ 上, $\displaystyle f(x)$ 不一定恒为 $\displaystyle 0$
B. 在 $\displaystyle E$ 上, $\displaystyle f(x)\gt 0$
C. 在 $\displaystyle E$ 上, $\displaystyle f(x)=0,\mbox{a.e.}$ 于 $\displaystyle E$
D. 在 $\displaystyle E$ 上, $\displaystyle f(x)\equiv 0$
2、 设 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 中的可测集, $\displaystyle f,g$ 为 $\displaystyle E$ 上的 Lebesgue 可积函数, 则 $\displaystyle (\quad )$ 也是 $\displaystyle E$ 上的 Lebesgue 可积函数.
A. $\displaystyle f+g$
B. $\displaystyle fg$
C. $\displaystyle \frac{f}{g}$
D. 以上都是
3、 设 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 中的可测集, $\displaystyle f$ 为 $\displaystyle E$ 上的 Lebesgue 可积函数, 则 $\displaystyle (\quad )$ 也是 $\displaystyle E$ 上的 Lebesgue 可积函数.
A. $\displaystyle f^+$
B. $\displaystyle f^-$
C. $\displaystyle |f|$
D. 以上都是
4、 对性质 $\displaystyle P$, 有 $f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上具有性质 $\displaystyle P\Leftrightarrow |f|$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上具有性质 $\displaystyle P$, 则 $P$ 为 $\displaystyle (\quad )$.
A. 连续
B. 可测
C. Riemann 可积
D. Lebesgue 可积
5、 (南京师大复试) 若 $|f(x)|$ 在可测集 $\displaystyle E$ 上 Lebesgue 可积, 则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle E$ 上 Lebesgue 可积. $\displaystyle (\quad )$
5.5 Riemann 积分和 Lebesgue 积分
1、 (南京师大复试) 设 $\displaystyle E$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,b]$ 上的间断点的集合, 则函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,b]$ 上 Riemann 可积的充分必要条件是 $\displaystyle mE=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
2、 (南京师大复试) 设 $\displaystyle E$ 为 $\displaystyle [a,b]$ 上 Riemann 可积函数 $\displaystyle f(x)$ 的连续点组成的集合, 则 $\displaystyle mE=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
度量空念与赋范线性空间
7.1 度量空间的进一步例子
1、 离散度量空间的子集既是开集, 也是闭集. $\displaystyle (\quad )$
2、 度量空间 $\displaystyle (X,d)$ 中, $\displaystyle \left\{y\in X;\ d(y,x)\lt \varepsilon\right\}$ 的闭包一定是 $\displaystyle \left\{y\in X;\ d(y,x)\leq \varepsilon\right\}$. $(\quad )$
3、 $\displaystyle \left\{1,\frac{1}{2},\cdots,\frac{1}{n},\cdots\right\}\in\ell^2$. $(\quad )$
4、 序列空间 $\displaystyle S$ 中两点
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} x=\left\{0,0,\cdots,0,\cdots\right\},\ y=\left\{1,\frac{1}{2},\cdots,\frac{1}{k},\cdots\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的距离是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
5、 有界函数空间 $B[-1,1]$ 中两点 $\displaystyle x(t)=t^2$, $y(t)=2t-1$ 的距离是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
6、 可测函数空间 $\mathfrak{M}[0,1]$ 中两点 $\displaystyle x(t)=0$, $y(t)=\left\{\begin{array}{llllllllllll} t^2,&t\in [0,1]\cap \mathbb{Q}\\ \frac{t}{1+t},&t\in [0,1]\backslash \mathbb{Q} \end{array}\right.$ 的距离是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
7.2 度量空间中的极限, 稠密集, 可分空间
1、 $\mathbb{R}^n$ 中点列收敛等价于 $\displaystyle (\quad )$.
A. 依坐标收敛
B. 依测度收敛
C. 一致收敛
D. $\mbox{a.e.}$ 收敛
2、 $\displaystyle C[a,b]$ 中点列收敛等价于 $\displaystyle (\quad )$.
A. 依坐标收敛
B. 依测度收敛
C. 一致收敛
D. $\mbox{a.e.}$ 收敛
3、 序列空间 $\displaystyle S$ 中点列收敛等价于 $\displaystyle (\quad )$.
A. 依坐标收敛
B. 依测度收敛
C. 一致收敛
D. $\mbox{a.e.}$ 收敛
4、 可测函数空间 $\displaystyle \mathfrak{M}(X)$ 中点列收敛等价于 $\displaystyle (\quad )$.
A. 依坐标收敛
B. 依测度收敛
C. 一致收敛
D. $\mbox{a.e.}$ 收敛
5、 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ 中稠密. $\displaystyle (\quad )$
6、 $\displaystyle \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 中稠密. $\displaystyle (\quad )$
7、 $\displaystyle \ell^\infty$ 可分. $\displaystyle (\quad )$
8、 设 $\displaystyle x\in\mathbb{R}$, 则 $\lim_{n\to\infty}\frac{[10^nx]}{10^n}=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
9、 $\displaystyle \mathbb{R}$ 中, $\displaystyle (100,200)$ 为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 的以 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 为半径的开球.
10、 $\displaystyle \mathbb{R}^2$ 中, 集合 $\displaystyle [2019,2079]\times [2008,2019]$ 的直径是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
11、 离散度量空间 $X$ 中, 若 $\displaystyle D\subset X$ 在 $\displaystyle X$ 中稠密, 则 $\displaystyle D=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
7.3 连续映射
1、 设 $\displaystyle (X,d), (Y,\rho)$ 是度量空间, $\displaystyle x_0\in X,\ T: \ X\to Y$, $T$ 在 $\displaystyle x_0$ 处连续, 则 $\displaystyle \forall\ \varepsilon\gt 0,\ \exists\ \delta\gt 0,\mathrm{ s.t.}$
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} TU(x_0,\delta)\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } U(Tx_0,\varepsilon). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(选填: $\displaystyle \subset$, $=$, $\supset$)
2、 设 $(X,d), (Y,\rho)$ 是度量空间, $\displaystyle X\ni x_n\to x_0\in X,\ T: \ X\to Y$, $T$ 在 $\displaystyle x_0$ 处连续, 则 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} Tx_n=$ $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
3、 设 $\displaystyle (X,d), (Y,\rho)$ 是度量空间, $\displaystyle T: \ X\to Y$ 连续, $\displaystyle O$ 是 $\displaystyle Y$ 中开集, 则 $\displaystyle T^{-1}O$ 是 $\displaystyle X$ 中 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
4、 设 $(X,d), (Y,\rho)$ 是度量空间, $\displaystyle T: \ X\to Y$ 连续, $\displaystyle F$ 是 $\displaystyle Y$ 中闭集, 则 $\displaystyle T^{-1}F$ 是 $\displaystyle X$ 中 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
7.4 柯西 (Cauchy) 点列和完备度量空间
1、 度量空间中, 收敛点列一定是 Cauchy 列. $(\quad )$
2、 度量空间中, Cauchy 列一定是收敛点列. $\displaystyle (\quad )$
3、 $\displaystyle [a,b]$ 上的多项式函数全体 $\displaystyle \mathbb{P}[a,b]$ 赋以距离
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} d(x,y)=\max_{a\leq x\leq b}|x(t)-y(t)| \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
后 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 完备距离空间; $\displaystyle C[a,b]$ 赋以距离
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} d(x,y)=\max_{a\leq x\leq b}|x(t)-y(t)| \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
后 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 完备距离空间; 赋以距离
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} d(x,y)=\int_a^b |x(t)-y(t)|\mathrm{ d} t \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
后 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 完备距离空间. (选填: 是, 不是)
7.5 度量空间的完备化
1、 $\displaystyle [a,b]$ 上的多项式函数全体 $\displaystyle \mathbb{P}[a,b]$ 在距离
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} d(x,y)=\max_{a\leq x\leq b}|x(t)-y(t)| \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
下的完备化空间是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$; $C[a,b]$ 在距离
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} d(x,y)=\int_a^b |x(t)-y(t)|\mathrm{ d} t \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
下的完备化空间是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
7.8 赋范线性空间和巴拿赫 (Banach) 空间
1、 在赋范线性空间中, $\left\{y\in X;\ \left\Vert y-x\right\Vert \lt \varepsilon\right\}$ 的闭包是 $\displaystyle \left\{y\in X;\ \left\Vert y-x\right\Vert \leq \varepsilon\right\}$. $(\quad )$
内积空间与 Hilbert 空间
9.1 内积空间的基本概念
1、 设 $\displaystyle (X,\left\lt \cdot,\cdot\right\gt )$ 是内积空间, 则以下不正确是 $\displaystyle (\quad )$
A. $\displaystyle \left\lt x,y\right\gt \gt 0$
B. $\displaystyle \left\lt x+y,z\right\gt =\left\lt x,z\right\gt +\left\lt y,z\right\gt$
C. $\displaystyle \left\lt x,x\right\gt =0\Leftrightarrow x=0$
D. $\displaystyle \left\lt \alpha x,y\right\gt =\alpha \left\lt x,y\right\gt$
2、 设 $\displaystyle (X,\left\lt \cdot,\cdot\right\gt )$ 是复内积空间, 则以下不正确是 $\displaystyle (\quad )$
A. $\displaystyle \left\lt \alpha x,y\right\gt =\alpha \left\lt x,y\right\gt$
B. $\displaystyle \left\lt x,y+z\right\gt =\left\lt x,y\right\gt +\left\lt x,z\right\gt$
C. $\displaystyle \left\lt x,x\right\gt =0\Leftrightarrow x=0$
D. $\displaystyle \left\lt x,\alpha y\right\gt =\alpha \left\lt x,y\right\gt$
3、 Hilbert 空间 $\displaystyle L^2[0,1]$ 中元素
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} x(t)=&\left\{\begin{array}{llllllllllll}1,&x\in [0,1]\cap \mathbb{Q}\\ 2,&x\in [0,1]\backslash \mathbb{Q}\end{array}\right.\\ \mbox{与}y(t)=&\left\{\begin{array}{llllllllllll} 3,&x\in [0,1]\cap \mathbb{Q}\\ 4,&x\in [0,1]\backslash \mathbb{Q}\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的内积是 $\displaystyle (\quad )$
A. $\displaystyle 3$
B. $\displaystyle 4$
C. $\displaystyle 6$
D. $\displaystyle 8$
4、 设 $\displaystyle E$ 是可测集, 则 Hilbert 空间 $\displaystyle L^2(E)$ 中元素 $\displaystyle x,y$ 的内积是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
5、 Hilbert 空间 $\ell^2$ 中元素 $\displaystyle x=\left\{\xi_k\right\},y=\left\{\eta_k\right\}$ 的内积是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
6、 Hilbert 空间 $\mathbb{C}^n$ 中元素
$\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$
$$\begin{aligned} x=\left\{\xi_1,\cdots,\xi_n\right\},\ y=\left\{\eta_1,\cdots,\eta_n\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的内积是 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
发表于 2023-6-8 05:31:18
