2023版实变函数与泛函分析作业之主观题

zhangzujin

集合

1.1-1原像保持并运算

设 $\displaystyle f: X\to Y$ 是映射, 则 $\displaystyle Y$ 的子集 $\displaystyle B$ 的原像为 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f^{-1}(B)=\left\{x\in X;\ f(x)\in B\right\},\quad \forall\ B\subset Y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

按照集合的特征性质描述法, 有 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} x\in f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(x)\in B. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试证: 对 $\displaystyle A, B\subset Y$, 有 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f^{-1}(A\cup B)&=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

1.1-2原像保持交运算

设 $f: X\to Y$ 是映射, 则 $\displaystyle Y$ 的子集 $\displaystyle B$ 的原像为 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f^{-1}(B)=\left\{x\in X;\ f(x)\in B\right\},\quad \forall\ B\subset Y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

按照集合的特征性质描述法, 有 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} x\in f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(x)\in B. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试证: 对 $\displaystyle A, B\subset Y$, 有 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f^{-1}(A\cap B)&=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

1.1-3原像保持补运算

设 $f: X\to Y$ 是映射, 则 $\displaystyle Y$ 的子集 $\displaystyle B$ 的原像为 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f^{-1}(B)=\left\{x\in X;\ f(x)\in B\right\},\quad \forall\ B\subset Y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

按照集合的特征性质描述法, 有 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} x\in f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(x)\in B. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试证: 对 $\displaystyle A, B\subset Y$, 有 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f^{-1}(A^c)&=[f^{-1}(A)]^c. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

1.2-1两个函数的和的绝对值大于某个正数的分解

设 $f(x)$, $g(x)$ 是定义在 $\displaystyle E$ 上的函数. 证明: 对任意 $\displaystyle \varepsilon\gt 0$, $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} &\left\{x;\ |f(x)+g(x)|\gt 2\varepsilon\right\} \\ \subset& \left\{x;\ |f(x)|\gt \varepsilon\right\}\cup \left\{x;\ |g(x)|\gt \varepsilon\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

1.2-2德摩根公式

(南京师大复试) 试证明德摩根公式 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \left(\bigcup_{\lambda\in \varLambda}A_\lambda\right)^c =\bigcap_{\lambda\in \varLambda}A_\lambda^c. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

1.2-3并的差

(南京师大复试) 证明: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} (A\cup B)\ \backslash\ C=(A\ \backslash\ C)\cup(B\ \backslash\ C). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

1.2-4两个并的差

设 $\left\{A_n\right\}, \left\{B_n\right\}$ 为集列. 试证: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \bigcup_{n=1}^\infty A_n\ \backslash\ \bigcup_{n=1}^\infty B_n\subset \bigcup_{n=1}^\infty (A_n\ \backslash\ B_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(书第 48 页要用这个结论)

1.2-5两个差的交

试证: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} (A\ \backslash\ B)\cap (C\ \backslash\ D)=(A\cap C)\ \backslash\ (B\cup D). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

1.2-6把并写成不交并

(48 页要用这个结论) 设有集合 $\displaystyle A_1,\cdots,A_n$, 作 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} B_1=A_1,\quad B_k=A_k\backslash\bigcup_{j=1}^{k-1}A_j\quad (k\gt 1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

证明: $B_1,\cdots,B_n$ 互不相交, 且 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \bigcup_{j=1}^k A_j=\bigcup_{j=1}^k B_j,\quad k=1,2,\cdots,n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

1.2-7函数列的收敛点集的集合表示

设 $\displaystyle \left\{f_n(x)\right\}$ 为 $\displaystyle \Bbb R$ 上的实值函数列, 令 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} E_{n,m}^k=&\left\{x\in\Bbb R; |f_n(x)-f_m(x)|\lt \frac{1}{k}\right\}\\ &(k=1,2,\cdots). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试证: $\displaystyle \left\{f_n(x)\right\}$ 的收敛点集为 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} E=\bigcap_{k=1}^\infty \bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n=N}^\infty \bigcap_{m=N}^\infty E_{n,m}^k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

书第 64 页习题 2 有用!

1.3-1若差与差对等, 则集合对等

设 $\displaystyle A\ \backslash\ B\sim B\ \backslash\ A$, 试证: $A\sim B$.

1.3-2将圆周除去一点后余下的点所成集合能否与实数集对等

将圆周除去一点后余下的点所成集合能否与实数集对等?

1.3-3将球面除去一点后余下的点所成集合能否与平面对等

将球面除去一点后余下的点所成集合能否与平面对等?

1.3-4写出对等的定义, 并画图说明不同范数下的单位圆周是对等的

写出对等的定义, 并画图说明下列集合是对等的: $A=[-1,1]^2$ 的边界, $\displaystyle B=\left\{(x,y);\ x^2+y^2=1\right\}$, $C=\left\{(x,y);\ |x|+|y|=1\right\}$.

1.3-5自然数与整数集的一一对应

作出一个自然数集 $\mathbb{N}$ 到整数集 $\displaystyle \mathbb{Z}$ 的一一对应.

1.3-6开区间与实数集的一一对应

作出一个 $\displaystyle (a,b)$ 到 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 的一一对应, 并写出该对应的解析表达式.

1.3-7集合的迫对等性

设有集合 $\displaystyle A,B,C$, 试证: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} A\subset B\subset C, A\sim C\Rightarrow A\sim B\sim C. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

1.4-1整数集与正整数集的一一对应

作出一个 $\Bbb Z$ 到 $\displaystyle \Bbb N$ 的一一对应.

1.4-2[0,1]中的有理数与正整数集的一一对应

作出一个 $\displaystyle \Bbb Q\cap [0,1]$ 到 $\displaystyle \Bbb N$ 的一一对应.

1.4-3无限集的等价刻画

设 $\displaystyle X$ 是一个集合, 则 $\displaystyle X$ 是无限集 $\displaystyle \Leftrightarrow$ $X$ 与其一个真子集对等. (这是无限集的一个等价刻画, 不用再说: 不是有限集的集合是无限集咯)

1.4-4无限集并上一个至多可数集后对等

(南京师大复试) 设 $\displaystyle A$ 是无限集, $\displaystyle B$ 为至多可数集, 则 $\displaystyle A\cup B$ 与 $\displaystyle A$ 对等.

1.4-5增函数的不连续点至多可数

证明: 增函数的不连续点至多可数.

1.5-1作出无限集加上两个点之后与原无限集的一一对应

(南京师大复试) 设 $\displaystyle \overline{\overline{A}}=c$, $x\not\in A$, $y\not\in A$, 且 $B=A\cup\left\{x,y\right\}$, 试构造 $A\to B$ 的一一映射 $\displaystyle \varphi$.

1.5-2至多连续集的直积还是至多连续集

若 $\overline{\overline{X}}\leq c$, $\overline{\overline{Y}}\leq c$, 试证: $\overline{\overline{X\times Y}}\leq c$.

1.5-3是否存在连续函数, 将无理数映到有理数, 将有理数映到无理数

是否存在 $\Bbb R$ 上的连续函数 $\displaystyle f$ 使得 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f(x)\left\{\begin{array}{llllllllllll} \mbox{是有理数},&x\mbox{ 是无理数}\\ \mbox{是无理数},&x\mbox{ 是有理数} \end{array}\right.? \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

请说明理由.

点集

2.1-1度量空间中两边之差小于等于第三边

设 $\displaystyle (X,\rho)$ 是度量空间, 试证: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} |\rho(x,y)-\rho(x,z)|\leq \rho(y,z),\quad \forall\ x,y,z\in X. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

2.1-2度量空间的度量是度量空间到实数集的连续函数, 等你学到第7.3节就会明白了

设 $\displaystyle (X,\rho)$ 是度量空间, 试证: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} |\rho(x',y')-\rho(x,y)|\leq& \rho(x',x)+\rho(y',y),\\ &\forall\ x',y',x,y\in X. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

2.1-3从一个度量出发诱导出两个度量

设 $\displaystyle \rho$ 为 $\displaystyle X$ 上的一个距离, 则 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \rho_\alpha(x,y) =&[\rho(x,y)]^\alpha \ \left(0\lt \alpha\lt 1\right),\\ \rho_b(x,y)=&\frac{\rho(x,y)}{1+\rho(x,y)} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

均是 $\displaystyle X$ 上的距离.

2.1-4度量空间中极限具有唯一性

设 $\displaystyle (X,\rho)$ 为度量空间, 若 $\displaystyle x_n\to x$, $x_n\to y$, 则 $x=y$. 这就是说, 度量空间中极限具有唯一性.

2.2-1开核的定义及左开右闭区间的开核

写出 $E\subset \mathbb{R}$ 的开核的定义, 并求 $\displaystyle (a,b]$ 的开核.

2.2-2可数并的闭包包含于闭包的可数并

(南京师大复试) 证明: $\displaystyle \overline{\bigcup_{n=1}^\infty A_n}\supset \bigcup_{n=1}^\infty \overline{A_n}$.

2.2-3导集为空集的集合一定至多可数

(南京师大复试) 设 $A\subset\mathbb{R}$, $A\neq \varnothing$, $A'=\varnothing$, 试证: $A$ 至多可数.

2.2-4导集至多可数的集合一定至多可数

设 $\displaystyle A\subset\mathbb{R}^n$, $A'$ 至多可数, 试证: $\displaystyle A$ 至多可数.

2.3-1$\mathbb{R}^n$ 中既开又闭的集合要么是空集要么是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$

(西南大学复试) 设 $A\subset\mathbb{R}^n$ 既是闭集, 也是开集, 则 $\displaystyle A=\varnothing$ 或 $\displaystyle A=\mathbb{R}^n$.

2.3-2开集减闭集后的差集仍是开集, 闭集减开集后的差集是闭集

证明开集减闭集后的差集仍是开集, 闭集减开集后的差集是闭集.

2.3-3(1)开集的定义

请写出 $E\subset \mathbb{R}^2$ 为开集的定义;

2.3-3(2)单位开圆盘的开核

设 $\displaystyle E=\left\{(x,y);x^2+y^2\lt 1\right\}$, 求 $E^\circ$;

2.3-3(3)$\mathbb{R}^n$中每一个开集均可表示成可数个闭集的并集

证明: $\mathbb{R}^n\ (n\gt 2)$ 中每一个开集均可表示成可数个闭集的并集.

2.5-1构造一个正测度且有连续基数的疏朗完备集

给定 $\displaystyle 0\lt \delta\lt 1$, 试构造出一个测度为 $\delta$ 且基数为 $\displaystyle c$ 的疏朗完备集, 并加以证明. 注: 可以利用一个结论’非空完备集具有基数 $\displaystyle c$‘.

2.5-2用十进制小数表示 0,1 中的数时, 其用不着数字 7 的一切数成一完备集

试证: 用十进制小数表示 $[0,1]$ 中的数时, 其用不着数字 $\displaystyle 7$ 的一切数成一完备集.

测度论

3.1-1有界集是否一定外测度有限

论断’若 $\displaystyle E$ 是有界集, 则 $\displaystyle m^\star E\lt +\infty$‘ 是否正确? 若正确, 给出理由; 若不正确给出反例.

3.1-2外测度有限是否蕴含集合有界

论断’若 $m^\star E\lt +\infty$, 则 $E$ 是有界集‘ 是否正确? 若正确, 给出理由; 若不正确给出反例.

3.1-3外测度为零的无限集是否一定可数

(南京师大复试) 论断 ‘若 $\displaystyle E$ 为无限集, 且 $\displaystyle m^\star E=0$, 则 $E$ 必为可数集‘ 是否正确? 若正确, 给出理由; 若不正确给出反例.

3.1-4开核非空的集合是否一定有正的外测度

(南京师大复试) 论断 ‘若 $\displaystyle E$ 的开核不空, 则 $\displaystyle m^\star E\gt 0$‘ 是否正确? 若正确, 给出理由; 若不正确给出反例.

3.1-5有理数集的外测度

写出 $E\subset \mathbb{R}^n$ 的外测度 $\displaystyle m^\star E$ 的定义, 并求有理数集 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 的外测度 $\displaystyle m^\star (\mathbb{Q})$.

3.1-6Cantor集的外测度

写出 $E\subset \mathbb{R}^n$ 的外测度 $\displaystyle m^\star E$ 的定义, 并求 Cantor 集 $\displaystyle P$ 的外测度 $\displaystyle m^\star (P)$.

3.1-7可数并的外测度为零等价于集列中的每个集合外测度为零

写出 $E\subset \mathbb{R}^n$ 的外测度 $\displaystyle m^\star E$ 的定义, 并证明 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} m^\star E_n=0\ (\forall\ n\gt 1)\Leftrightarrow m^\star \left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\right)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

3.1-8正外测度集上关于外测度的介值定理

(南京师大复试) 设 $\displaystyle E$ 为直线上的有界集, $\displaystyle m^\star E=p\gt 0$, 则对于任意小于 $p$ 的正数 $\displaystyle q$, 总存在 $E$ 的子集 $\displaystyle E_1$, 使得 $m^\star E_1=q$.

3.2-1一个集合可测, 另一个集合外测度有限, 则并的外测度与交的外测度之和等于两个集合的外测度之和

设 $A,B\subset \mathbb{R}^n$ 且 $\displaystyle m^\star B\lt +\infty$, 若 $A$ 可测, 试证: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} m^\star (A\cup B)=mA+m^\star B-m^\star (A\cap B). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

3.2-2两个可测集的并的测度与交的测度之和

(南京师大复试) 设 $\displaystyle A,B$ 可测, 试证: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} mA+mB=m(A\cup B)+m(A\cap B). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

3.2-3满测度集合的一个重要性质

设 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 中可测集, 若 $\displaystyle mE=1$. 证明, 对任意可测集 $A\subset [0,1]$, $m(E\cap A)=m A$.

3.2-4满测度集列的交还是满测度

设 $\left\{E_n\right\}$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 中可测集列, 若 $\displaystyle mE_n=1$, $n=1,2,\cdots$, 则 $m\left(\bigcap_{n=1}^\infty E_n\right)=1$.

3.2-5可测集列的上极限为零测集的一个充分条件

若 $E_k$ 是一可测集列, 满足 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty m E_k\lt \infty$, 试证: $m\left(\varlimsup_{k\to\infty}E_k\right)=0$.

3.2-6可测集列的上下极限的测度

设 $\displaystyle \left\{E_n\right\}$ 是一列可测集, 证明: $\displaystyle \varlimsup_{n\to\infty}E_n$ 和 $\displaystyle \varliminf_{n\to\infty}E_n$ 都是可测集, 且

(1)、 $\displaystyle m\left(\varliminf_{n\to\infty}E_n\right)\leq\varliminf_{n\to\infty} m(E_n)$;

(2)、 若 $m\left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\right)\lt \infty$, 则 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \varlimsup_{n\to\infty}m(E_n)\leq m\left(\varlimsup_{n\to\infty}E_n\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

3.3-1零测度集,$G_\delta$集与可测集的定义与关系

简要叙述零测度集, $G_\delta$ 集与可测集的定义与关系.

3.3-2零测度集,$F_\sigma$集与可测集的定义与关系

简要叙述零测度集, $\displaystyle F_\sigma$ 集与可测集的定义与关系.

3.3-3可测集的内外正规性

简要叙述可测集的定义及其测度的内外正规性.

3.3-4可测集的定义与例子

试给出 $\displaystyle E\subset \mathbb{R}^n$ 为可测集的卡拉泰奥多里 (Caratheodory) 定义, 并举出一个可测集的例子.

3.3-5外测度为零的集合一定可测

证明: 若 $\displaystyle E$ 的外测度为 $\displaystyle 0$, 则 $E$ 必为可测集.

3.3-6Cantor三分集的测度为0

证明: Cantor 三分集的测度为零.

3.4-1外测度的定义

外测度的定义 $\displaystyle m^\star E=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.

3.4-2外测度的性质

外测度的三个性质: $\rule[-1ex]{1cm}{0.5pt}$; $\rule[-1ex]{1cm}{0.5pt}$; $\rule[-1ex]{1cm}{0.5pt}$.

3.4-3可测集的等价刻画

可测集的三个等价定义: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} E\in \mathscr{M}&\Leftrightarrow (\mbox{Carathedory 条件}) \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ &\Leftrightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ &\Leftrightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

3.4-4可测集的性质

可测集的性质:

(1)、 $E\in \mathscr{M}\Leftrightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \in \mathscr{M}$;

(2)、 $\left\{E_i\right\}_{i=1}^\infty \subset \mathscr{M} \Rightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \in \mathscr{M}$;

(3)、 可数可加性: $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$;

(4)、 $\mathscr{M}\ni E_n\nearrow \Rightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$;

(5)、 $\left.\begin{array}{rrrr} \mathscr{M}\ni E_i\searrow\\ mE_1\lt +\infty \end{array}\right\}\Rightarrow \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.

3.4-5可测集的例子

可测集的例子:

(1)、 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$;

(2)、 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$;

(3)、 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$;

(4)、 $\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.

3.4-6可测集的构造

可测集的构造: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} E\in \mathscr{M}\Rightarrow E=\left\{\begin{array}{llllllllllll} \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\backslash \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\\ \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \cup \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \end{array}\right.. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

3.4-7测度的正规性

测度的正规性: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} E\in \mathscr{M}\Rightarrow mE=\left\{\begin{array}{llllllllllll} \inf\left\{\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\right\}\\ \sup\left\{\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\right\} \end{array}\right.. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

可测函数

4.1-1与可测函数几乎处处相等的函数仍可测

设 $f$ 是 $\displaystyle E$ 上的可测函数, $\displaystyle f=g,\mbox{a.e.}$ 于 $\displaystyle E$. 试证: $g$ 也是 $\displaystyle E$ 上的可测函数.

4.1-2函数及其绝对值的可测性

(南京师大复试) 叙述可测集 $\displaystyle E\subset\mathbb{R}^n$ 上可测函数的概念, 并举例说明 $\displaystyle |f(x)|$ 为 $\displaystyle E$ 上的可测函数时, $\displaystyle f(x)$ 不是 $\displaystyle E$ 上可测函数.

4.1-3可测函数族的上确界可测么

设 $\displaystyle \varGamma$ 表示指标集, $\displaystyle \left\{f_\gamma(x)\right\}_{\gamma\in\varGamma}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 上的一族可测函数, 问 $\displaystyle S(x)=\sup_{\gamma\in \varGamma}f_\gamma(x)$ 是否也是 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 上的可测函数, 为什么?

4.1-4外层函数连续, 内层函数可测的复合仍可测

设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的连续函数, $\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a,b]$ 上的可测函数, 则 $\displaystyle f(g(x))$ 是可测函数.

4.1-5可测函数的又一等价刻画

(西南大学复试) 证明 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle E$ 上的可测函数的充要条件是: 对任一有理数 $\displaystyle r$, $E[f\gt r]$ 恒可测.

4.1-6可测函数的差仍可测

(南京师大复试) 设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 均为可测集 $\displaystyle E$ 上的可测函数, 试证: $\displaystyle E[f\gt g]$ 为可测集.

4.1-7可测函数列的收敛点集和发散点集都是可测的

设 $\displaystyle \left\{f_n\right\}$ 为 $\displaystyle E$ 上可测函数列, 证明它的收敛点集和发散点集都是可测的.

4.2-1可测函数列基本上一致收敛蕴含几乎处处收敛

设函数列 $\displaystyle \left\{f_k(x)\right\}$ 在 $\displaystyle E$ 上’ 基本上‘一致收敛于 $\displaystyle f(x)$, 证明: $\left\{f_k\right\}$ $\mbox{a.e.}$ 收敛于 $\displaystyle f$.

4.3-1简要叙述可测函数与简单函数的定义与关系

简要叙述可测函数与简单函数的定义与关系.

4.3-2简要叙述可测函数与连续函数的定义与关系

简要叙述可测函数与连续函数的定义与关系.

4.3-3简要叙述命题基本上成立与几乎处处成立的关系

设 $E$ 是可测集, $\displaystyle \pi(x)$ 是关于 $\displaystyle x\in E$ 的一个命题. 简要叙述 $\displaystyle \pi(x)$ $\mbox{a.e.}$ 于 $\displaystyle E$ 与 $\displaystyle \pi(x)$ 在 $\displaystyle E$ 上基本上成立的定义与关系.

4.4-1可测函数列几乎处处收敛未必依测度收敛

(南京师大复试) 叙述可测函数列 $\displaystyle \left\{f_k(x)\right\}$ 依测度收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ 的定义, 并举例说明 $\displaystyle \mbox{a.e.}$ 收敛的函数列未必是依测度收敛的函数列.

4.4-2基本上一致收敛与几乎处处收敛的关系

叙述可测函数列 $\displaystyle \left\{f_k(x)\right\}$ $\mbox{a.e.}$ 收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ 的定义, 并说明’基本上‘一致收敛与 $\displaystyle \mbox{a.e.}$ 收敛的关系.

4.4-3依测度收敛与几乎处处收敛的关系

叙述可测函数列 $\displaystyle \left\{f_k(x)\right\}$ 依测度收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ 的定义, 并说明依测度收敛与 $\displaystyle \mbox{a.e.}$ 收敛的关系.

4.4-4递增可测函数列的依测度收敛蕴含几乎处处收敛

(西南大学复试) 设在 $\displaystyle E$ 上, $\displaystyle f_k\Rightarrow f$, 且 $f_k(x)\leq f_{k+1}(x)$ 几乎处处成立, $\displaystyle k=1,2,\cdots$, 则几乎处处有 $f_k(x)$ 收敛于 $\displaystyle f(x)$.

4.4-5依测度收敛的线性组合

(南京师大复试) 设在 $E$ 上 $\displaystyle f_k\Rightarrow f$, $g_k\Rightarrow g$, 则对任意实数 $a,b\ (ab\neq 0)$, 有 $af_k+bg_k\Rightarrow af+bg$.

4.4-6测度有限时, 几乎处处收敛的一个等价刻画

设 $\left\{f_k\right\}$ 是 $\displaystyle E$ 上有限可测函数且 $\displaystyle mE\lt +\infty$, 求证: $\lim_{n\to\infty}f_k(x)=0$ 在 $\displaystyle E$ 上几乎处处成立的充要条件是在 $\displaystyle E$ 上, $\displaystyle g_k\Rightarrow 0$, 其中 $g_k=\sup_{j\gt k}|f_j|$.

积分论

5.3-1可测函数几乎处处相等, 则L可积性相同, 且积分相等

(南京师大复试) 设 $E=[0,1]$, $P$ 是 Cantor 集, $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll} e^x,&x\in [0,1/2)\backslash P\\ \cos \pi x,&x\in [1/2,1]\backslash P\\ e^{x^2},&x\in P \end{array}\right., \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试求 $\displaystyle \int_E f(x)\mathrm{ d} x$.

5.3-2可测函数几乎处处相等, 则L可积性相同, 且积分相等

(南京师大复试) 设 $P$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的康托尔集, $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll} x^3,&x\in P\\ e^x,&x\not\in P \end{array}\right.,$ 试求 $\displaystyle \int_{[0,1]} f(x)\mathrm{ d} x$.

5.3-3非负可测列的逐项积分

设 $f(x)=\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{2^i}\chi_{[i,i+1)}(x), x\in [1,+\infty)$, 其中 $\chi_A(x) =\left\{\begin{array}{llllllllllll} 1,&x\in A\\ 0,&x\not\in A\end{array}\right.$. 试求 $\int_1^{\infty} f(x)\mathrm{ d} x$.

5.3-4非负可测列的逐项积分

(南京师大复试) 试利用 Lebesgue 积分求 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^\infty (R)\int_{-1}^1 \frac{x^2}{(1+x^2)^k}\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

5.3-5非负可测列的逐项积分

设在 Cantor 集 $P$ 上定义函数 $\displaystyle f(x)=0$, 而在 $P$ 的余集中长为 $\displaystyle 1/3^k$ 的构成区间上定义为 $\displaystyle k\ (k=1,2,\cdots)$. 试证 $f$ 可积分, 并求出积分值.

5.3-6Fatou引理的推广

设 $\displaystyle \left\{f_k\right\}$ 是可测集 $\displaystyle E$ 上的可测函数列, 满足 $\displaystyle \exists\ F\in L(E),\mathrm{ s.t.} f_k\gt F.$ 试证: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \int_E \varliminf_{k\to\infty}f_k(x)\mathrm{ d} x\leq \varliminf_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

5.3-7Fatou引理的推广

设 $\displaystyle \left\{f_k\right\}$ 是可测集 $\displaystyle E$ 上的可测函数列, 满足 $\displaystyle \exists\ F\in L(E),\mathrm{ s.t.} f_k\leq F.$ 试证: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \int_E \varlimsup_{k\to\infty}f_k(x)\mathrm{ d} x\gt \varlimsup_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

5.3-8非负可测函数的截断

(西南大学复试) 设 $\displaystyle f(x)\gt 0$ 为可测集 $\displaystyle E$ 上的可测函数, 令 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f_k(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll} f(x),&f(x)\leq k\\ 0,&f(x)\gt k \end{array}\right.. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则当 $\displaystyle f(x)\mbox{a.e.}$ 有限时, $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lim_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\mathrm{ d} x=\int_E f(x)\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

5.3-9依积分收敛蕴含依测度收敛

设 $\displaystyle \left\{f_k\right\}$ 为 $\displaystyle E$ 上非负可积函数列 若 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lim_{k\to\infty}\int_Ef_k(x)\mathrm{ d} x=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则 $\displaystyle f_k\Rightarrow 0$.

5.3-10依测度收敛的积分刻画

(南京师大复试) 设 $mE\lt \infty$, $\left\{f_k\right\}$ 为 $\displaystyle \mbox{a.e.}$ 有限可测函数列. 证明: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lim_{k\to\infty} \int_E\frac{|f_k(x)|}{1+|f_k(x)|}\mathrm{ d} x=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

的充要条件是 $\displaystyle f_k\Rightarrow 0$.

5.4-1L控制收敛定理的应用

(1)、 叙述 Lebesgue 控制收敛定理;

(2)、 设 $a,b\gt 0$, 试证: $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a^\frac{1}{n}+b^\frac{1}{n}}{2}\right)^n =\sqrt{ab}$;

(3)、 利用 Lebesgue 控制收敛定理求 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_1^2 \left[\frac{(x-1)^\frac{1}{n}+(2-x)^\frac{1}{n}}{2}\right]^n\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

5.4-2L控制收敛定理的应用

(1)、 叙述 Lebesgue 控制收敛定理;

(2)、 设 $a,b\gt 0$, 试证: $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a^n+b^n}{2}\right)^\frac{1}{n} =\max\left\{a,b\right\}$;

(3)、 利用 Lebesgue 控制收敛定理求 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_1^2 \left[\frac{(x-1)^n+(2-x)^n}{2}\right]^\frac{1}{n}\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

5.4-3两个函数几乎处处相等的等价刻画

试证: $f=g\mbox{a.e.}$ 于 $\displaystyle E$ 当且仅当 $\displaystyle f^\pm=g^\pm\mbox{a.e.}$ 于 $\displaystyle E$.

5.4-4两个函数几乎处处相等的等价刻画

试证: $f= g$, $\mbox{a.e.}$ 于 $\displaystyle E$ 当且仅当 $\displaystyle f\leq g$, $\mbox{a.e.}$ 于 $\displaystyle E$; $f\gt g$, $\mbox{a.e.}$ 于 $\displaystyle E$.

5.4-5函数乘以常数后的正负部

试证: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \alpha\gt 0\Rightarrow (\alpha f)^\pm =&\alpha f^\pm;\\ \alpha\lt 0\Rightarrow (\alpha f)^\pm =&|\alpha|f^\mp. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

5.4-6L控制收敛定理的应用

(南京师大复试) 求极限 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_{[0,1]} \frac{nx}{1+n^2x^2}e^{\sin x}\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

5.4-7L控制收敛定理的应用

(南京师大复试) 计算 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_0^1 \frac{n^2x}{1+4nx^2}\sin\frac{\sqrt{x}}{n}\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

5.4-8L控制收敛定理的应用

(Iowa)

(1)、 试证: $t\gt 0\Rightarrow \ln(1+t^2)\leq t$.

(2)、 设 $f\in L(\mathbb{R})$, 试求: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}} k\cdot\ln \left[1+\left(\frac{f(x)}{k}\right)^2\right]\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

5.4-9按积分意义下收敛蕴含几乎处处收敛么

(南京师大复试) 判断以下命题是否正确. 若正确, 请证明; 若错误, 请举出反例. 若可测函数列 $\left\{f_n(x)\right\}$ 满足 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_E|f_n(x)-f(x)|\mathrm{ d} x=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

则 $\displaystyle f_n(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上几乎处处收敛于 $\displaystyle f(x)$.

5.4-10绝度连续性的应用

设 $f(x)$ 在 $\displaystyle E$ 上 Lebesgue 可积, $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} E_n=E[|f|\gt n]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(1)、 由 $\displaystyle |f(x)|\gt n+1\Rightarrow |f(x)|\gt n$ 知 $\displaystyle E_{n+1}\subset E_n$, 而有 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}mE_n=m\left(\lim_{n\to\infty}E_n\right)\\ =&mE[|f|=+\infty]=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

请问哪里有误? 为什么?

(2)、 请给出 $\lim_{n\to\infty}mE_n=0$ 的正确证明.

(3)、 叙述 Lebesgue 可积函数的绝对连续性.

(4)、 利用(2)和(3)证明 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\cdot mE_n=0$.

5.4-11逐项积分的应用

(南京师大复试) 设 $\left\{f_n\right\}$ 为可测集 $\displaystyle E$ 上的可测函数列, 且 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \int_E|f_n(x)|\mathrm{ d} x\lt \infty, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试证:

(1)、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f_n(x)=0,\mbox{a.e.}$ 于 $\displaystyle E$;

(2)、 $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ 为 $\displaystyle E$ 上的可测函数, 且 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \int_E \sum_{n=1}^\infty f_n(x)\mathrm{ d} x =\sum_{n=1}^\infty \int_E f_n(x)\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

5.4-12Fatou引理的妙用

(南京师大复试) 设函数 $\displaystyle f(x), f_n(x)\ (n=1,2,\cdots)$ 都是 $\displaystyle E$ 上可积函数, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ $\mbox{a.e.}$ 于 $\displaystyle E$, 且 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_E|f_n(x)|\mathrm{ d} x=\int_E|f(x)|\mathrm{ d} x, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

证明对 $E$ 的任何可测子集 $\displaystyle D\subset E$, 都有 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_D|f_n(x)|\mathrm{ d} x=\int_D|f(x)|\mathrm{ d} x \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

5.4-13Fatou引理的妙用

(西南大学复试) 设 $f_n(x)$ 是可测集 $\displaystyle E$ 上 $\displaystyle L$ 可积函数, $\displaystyle f_n(x)$ 几乎处处收敛于 $\displaystyle f(x)$, 且 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \int_E|f_n(x)|\mathrm{ d} x\leq K, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

($K$ 为常数), 则 $\displaystyle f(x)$ $L$ 可积.

5.5-1R可积的充要条件

(南京师大复试) 叙述 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上 Riemann 可积的充要条件.

5.5-2R可积的充要条件

(南京师大复试) 证明: 若对任意满足 $\displaystyle a\lt \alpha\lt \beta\lt b$ 的 $\displaystyle \alpha,\beta$, $f(x)$ 在 $\displaystyle [\alpha,\beta]$ 上 Riemann 可积, 且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上有界, 则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上 Riemann 可积.

5.5-3利用R积分计算L积分

(南京师大复试) 令 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll} x^{-\frac{1}{2}},&x\in (0,1]\\ x^{-2},&x\in (1,+\infty) \end{array}\right.,$ 利用定义求 $\displaystyle \int_{(0,+\infty)}f(x)\mathrm{ d} x$.

5.5-4L可积是指绝对可积

设 $f$ 在 $\displaystyle (a,b]$ 上 $\displaystyle R$ 反常积分存在 (可积). 证明: $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle (a,b]$ 上 $\displaystyle L$ 可积的充要条件为 $\displaystyle |f|$ 在 $\displaystyle (a,b]$ 上 $\displaystyle R$ 反常积分存在 (可积). 并证明此时成立 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \int_{[a,b]}f(x)\mathrm{ d} x =(R)\int_a^b f(x)\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

度量空念与赋范线性空间

7.1-1三角不等式

试证: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leq \frac{|a|}{1+|a|} +\frac{|b|}{1+|b|},\quad \forall\ a,b\in \mathbb{R}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

7.1-2Cauchy不等式

试证 Cauchy 不等式: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \left(\sum_{k=1}^n x_ky_k\right)^2\leq& \sum_{k=1}^n x_k^2\cdot\sum_{k=1}^n y_k^2,\\ &\forall\ x_k,\ y_k\in\mathbb{R},\ 1\leq k\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

7.2-1距离函数是度量空间上的二元连续函数

设 $\displaystyle (X,d)$ 是度量空间, $\displaystyle \left\{x_n\right\}\subset X$, $\left\{y_n\right\}\subset X$, $\lim_{n\to\infty}x_n=x, \lim_{n\to\infty}y_n=y$. 试证: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} d(x_n,y_n)=d(x,y). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(由 $\S$ 7.3 定理 1 知 $\displaystyle d(\cdot,\cdot)$ 是 $\displaystyle X\times X$ 上的连续函数)

7.4-1度量空间中闭集与完备集的关系

在度量空间中, 简述闭集与完备集 (Cauchy 列一定收敛的集) 的关系.

7.4-2完备度量空间中完备子空间的刻画

设 $\displaystyle (X,d)$ 是完备度量空间, $\displaystyle Y\subset X$, 试证: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} (Y,d)\mbox{ 是完备度量空间}\Leftrightarrow Y\mbox{ 是 }X\mbox{ 的闭子集}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

7.4-3度量空间中Cauchy列的等价刻画

设 $(X,d)$ 是度量空间, 试证: Cauchy 列收敛, 当且仅当其中存在一串收敛子列.

7.6-1压缩映射一定连续

设 $\displaystyle (X,d)$ 是度量空间, $\displaystyle T: X\to X$ 是压缩映射, 试证: $\displaystyle T$ 是连续映射.

7.6-2Rn中有界闭集上的弱压缩映射存在唯一的不动点

设 $\displaystyle F$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 中有界闭集, $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle F$ 到自身中的映射, 并且适合下列条件: 对任意 $\displaystyle x,y\in F\ (x\neq y)$, 有 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} d(Ax,Ay)\lt d(x,y), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

证明映射 $A$ 在 $\displaystyle F$ 中存在唯一的不动点.

7.6-3完备度量空间中映射的复合如果压缩, 则该映射存在唯一的不动点

设 $\displaystyle F$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 中有界闭集, $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle F$ 到自身中的映射, 并且适合下列条件: 对任意 $\displaystyle x,y\in F\ (x\neq y)$, 有 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} d(Ax,Ay)\lt d(x,y), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

证明映射 $A$ 在 $\displaystyle F$ 中存在唯一的不动点.

7.7-1数乘以向量为零向量, 则数为零或向量为零向量

设 $\displaystyle V$ 是线性空间, 试证: $\displaystyle k\alpha=\theta\Leftrightarrow k=0$ 或 $\displaystyle \alpha=\theta$.

7.8-1赋范线性空间与度量空间的关系

请写出赋范线性空间的定义, 并简述度量空间与赋范线性空间的关系.

7.8-2赋范线性空间中两边之差小于等于第三边

请写出赋范线性空间的定义, 并证明在赋范线性空间 $(X,\left\Vert \cdot\right\Vert )$ 中成立 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \left|\left\Vert y\right\Vert -\left\Vert x\right\Vert \right|\leq \left\Vert y-x\right\Vert ,\quad \forall\ x,y\in X. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

7.8-3赋范线性空间完备的一个等价刻画

设 $\displaystyle X$ 是赋范线性空间. 求证: $\displaystyle X$ 是 Banach 空间的充分必要条件是 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \forall\ \left\{x_n\right\}\subset X,\ \sum_{n=1}^\infty\left\Vert x_n\right\Vert \lt \infty\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty x_n\mbox{ 收敛}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

有界线性算子和连续线性泛函

8.1-1连续函数空间上的乘积算子的算子范数

设 $\displaystyle f\in C[a,b]$, 定义 $C[a,b]\to C[a,b]$ 的线性算子 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} (Tx)(t)=f(t)x(t),\quad \forall\ t\in [a,b]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试求 $\displaystyle \left\Vert T\right\Vert$.

8.1-2连续函数空间上的一点的值定出的泛函的算子范数

设 $t_0\in [a,b]$, 定义 $C[a,b]$ 上的线性泛函 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f(x)=x(t_0),\quad \forall\ t_0\in [a,b], \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试求 $\displaystyle \left\Vert f\right\Vert$.

8.1-3Rn中的线性算子的算子范数

(1)、 设 $A$ 是 $\displaystyle n$ 阶方阵, 考虑 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 到 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 中的线性算子 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} Tx=Ax,\ x\in\mathbb{R}^n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试求 $\displaystyle \left\Vert T\right\Vert$;

(2)、 设 $A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0\\ 0&1&1\\ 1&0&1\end{array}\right)$, 试求其对应的线性算子 $T$ 的范数 $\displaystyle \left\Vert T\right\Vert$.

8.1-4赋范线性空间中的非零幂等算子的算子范数大于等于1

设 $X$ 是赋范线性空间, $\displaystyle A\in\mathscr{B}(X\to X)$ 满足 $\displaystyle A^2=A$, 且 $A\neq O$, 试证: $\left\Vert A\right\Vert \gt 1$.

8.1-5赋范线性空间中线性算子的有界性与连续性等价

设 $X,Y$ 是两个赋范线性空间, $\displaystyle T: X\to Y$ 是线性算子, 则 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} T\mbox{ 为有界算子}\Leftrightarrow T\mbox{ 是 }X\mbox{ 上的连续算子}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

8.1-6赋范线性空间中线性泛函连续通过闭核来刻画

设 $\displaystyle X$ 是赋范线性空间, $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle X$ 上的线性泛函, 则 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} f\mbox{ 是 $\displaystyle X$ 上连续线性泛函}\Leftrightarrow \mathscr{N}(f)\mbox{ 是 $\displaystyle X$ 的闭子空间}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

8.2-1保距算子是单射

请写出保距算子的定义, 并证明保距算子是单射.

8.2-2赋范线性空间到自身的线性算子构成的空间是赋范代数

请写出赋范代数的定义, 并证明: 若 $\displaystyle X$ 是赋范线性空间, 则 $\displaystyle \mathscr{B}(X\to X)$ 是赋范代数.

8.2-3赋范线性空间到B空间的线性算子构成的空间是B空间

设 $\displaystyle X$ 是赋范线性空间, $\displaystyle Y$ 是 Banach 空间时, 试证: $\displaystyle \mathscr{B}(X\to Y)$ 是 Banach 空间.

内积空间与 Hilbert 空间

9.1-1简述内积空间与赋范线性空间的关系

简述内积空间与赋范线性空间的关系.

9.1-2内积空间的定义及平行四边形公式

写出内积空间的定义; 并证明: 若 $\displaystyle (X,\left\lt \cdot,\cdot\right\gt )$ 是内积空间, 则有平行四边形公式 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \left\Vert x+y\right\Vert ^2+\left\Vert x-y\right\Vert ^2=&2\left(\left\Vert x\right\Vert ^2+\left\Vert y\right\Vert ^2\right),\\ &\forall\ x,y\in X, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \left\Vert x\right\Vert =\sqrt{\left\lt x,x\right\gt }$.

9.1-3内积关于第二个变量是共轭线性的

写出内积空间的定义; 并证明: 若 $(X,\left\lt \cdot,\cdot\right\gt )$ 是内积空间, 则 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} \left\lt x,\alpha y+\beta z\right\gt =&\overline{\alpha} \left\lt x,y\right\gt +\overline{\beta} \left\lt x,z\right\gt ,\\ &\forall\ x,y,z\in X. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

9.1-4内积空间中依范数收敛且弱收敛蕴含强收敛

设 $\displaystyle \left\{x_n\right\}$ 是内积空间 $\displaystyle X$ 中点列, 若

(1)、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\Vert x_n\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert$,

(2)、 对一切 $y\in X$ 有 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\lt x_n,y\right\gt =\left\lt x,y\right\gt$.

证明: $\lim_{n\to\infty}x_n=x$.

9.2-1点到集合的距离

请叙述度量空间中’点到集合的距离‘的概念, 并在平面中求点 $x=(1,1)$ 到集合 $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} M=\left\{(x,y);x^2+y^2\lt 1\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

的距离.

9.2-2赋范线性空间中的凸集

请叙述线性空间中’凸集‘的概念, 并证明赋范线性空间 $\displaystyle (X,\left\Vert \cdot\right\Vert )$ 中点 $\displaystyle x$ 的球形邻域 $\displaystyle U(x;\varepsilon)=\left\{y\in X;\ \left\Vert y-x\right\Vert \lt \varepsilon\right\}$ 是凸集.

9.2-3内积空间中子集的正交补是闭子空间

请写出内积空间 $\displaystyle X$ 中集合 $\displaystyle M$ 的正交补 $\displaystyle M^\perp$ 的定义, 并证明 $\displaystyle M^\perp$ 是 $\displaystyle X$ 的闭子空间.

9.2-4内积空间的子空间与其正交补的交为零空间

请写出内积空间 $\displaystyle X$ 中集合 $\displaystyle M$ 的正交补 $\displaystyle M^\perp$ 的定义, 并证明 $\displaystyle M\cap M^\perp=\left\{0\right\}$.

9.2-5$\mathbb{R}^3$ 中点到平面的距离与投影计算

设 $\displaystyle x=(1,2,3)\in\mathbb{R}^3$, $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} M=\mathrm{span} \left\{m_1=(1,1,1),\ m_2=(1,-1,1)\right\}\subset \mathbb{R}^3, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试求

(1)、 点 $x$ 在 $\displaystyle M$ 上的投影 $\displaystyle y$;

(2)、 用 $m_1,m_2$ 将 $\displaystyle y$ 线性表出;

(3)、 $\displaystyle d(x,M)$.

9.2-6空间直线的正交补

试求 $\mathbb{R}^3$ 中直线 $\displaystyle L: \ \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ 的正交补空间 $\displaystyle M$.

9.2-7互为代数补的子空间的非零向量线性无关

设 $X$ 是 线性空间, $\displaystyle Y,Z$ 是 $\displaystyle X$ 的两个子空间, 且 $X=Y\dot +Z$, 试证: $\tiny\boxed{@跟锦数学微信公众号}$

$$\begin{aligned} 0\neq y\in Y,\ 0\neq z\in Z\Rightarrow y,z\mbox{ 线性无关}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{www.zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$