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行列式
行列式的计算方法57题
行列式计算的原则
对于以数字为元素的行列式计算, 可以先观察规律, 若无规律, 一般是先选定某一行 (列), 利用行列式的性质, 将其中的元素尽可能地化为 0, 然后按这一行 (列) 展开, 如此继续下去, 即可得结果.
对于以字母为元素的行列式计算, 一般首先弄清行列式中元素的结构, 找出规律, 然后充分利用行列式的性质, 化为三角形行列式或利用降阶法找出递推公式.
计算行列式有如下口决: 认清元素, 分析结构, 先看特殊, 再想一般, 熟用性质, 必要展开. [这口诀记不住啊, 没关系, 多做题目就是...]
化三角法
化三角形法就是利用行列式的性质将所求的行列式化为上 (下) 三角形行列式计算. [行列式化出一大片的零出来, 即使不是三角形, 也是准对角的, 降阶了.]
例 1.1.1 (广西民族大学, 2021) 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -(n-2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & -(n-1) \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.01 (广西民族大学, 2021)
例 1.1.2 (武汉大学,2020) 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & \cdots & n-3 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & \cdots & n-4 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 0 \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.02 (武汉大学,2020)
例 1.1.3 (复旦大学高等代数每周一题 [问题 2021A01]; 中国科学院,2015) 求下列 $n$ 阶行列式的值:
$\begin{aligned} |A|=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & a & a^2 & \cdots & a^{n-1} \\ a & 1 & a & \cdots & a^{n-2} \\ a^2 & a & 1 & \cdots & a^{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a^{n-1} & a^{n-2} & a^{n-3} & \cdots & 1 \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.03 (复旦大学高等代数每周一题 [问题 2021A01]; 中国科学院,2015); 例 1.1.03 (复旦大学高等代数每周一题 [问题 2021A01]; 中国科学院,2015)另解
例 1.1.4 (中南大学,2023) 计算 $n+1$ 阶行列式
$\begin{aligned} D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccccc} a & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ a x & a & -1 & 0 & \ldots & 0 \\ a x^2 & a x & a & -1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a x^{n-1} & a x^{n-2} & a x^{n-3} & a x^{n-4} & \ldots & -1 \\ a x^n & a x^{n-1} & a x^{n-2} & a x^{n-3} & \ldots & a \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.04 (中南大学,2023)
降阶法
降阶法就是利用行列式的性质、拉普拉斯 (Laplace) 定理、行列式降阶定理降低行列式的阶数,然后计算.
例 1.1.5 (中国石油大学,2021; 北京邮电大学,2021) 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{ccccc} \lambda & a & a & \cdots & a \\ b & \alpha & \beta & \cdots & \beta \\ b & \beta & \alpha & \cdots & \beta \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & \beta & \beta & \cdots & \alpha \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.05 (中国石油大学,2021; 北京邮电大学,2021)
例 1.1.6 (西安建筑科技大学,2018; 南昌大学,2020; 沈阳工业大学,2021) 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccccc} x & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_2 & x+a_1 \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.06 (西安建筑科技大学,2018; 南昌大学,2020; 沈阳工业大学,2021)
例 1.1.7 (重庆大学, 2022) 计算行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{crrrrr} a_1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a_2 & x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ a_3 & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n-1} & 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\ a_n & 0 & 0 & \cdots & 0 & x \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.07(重庆大学,2022)
例 1.1.8 (重庆工学院,2009) 设 $f(x)$ 是一个整系数多项式, 且
$\begin{aligned} f(x)=\left|\begin{array}{rrrrcc} x & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\ 3 & 3^2 & 3^3 & \cdots & 3^{n-1} & 3^n+x \end{array}\right|,\end{aligned}$
其中 $n \geqslant 2$. 证明: $f(x)$ 在有理数域上不可约.
例 1.1.08 (重庆工学院,2009)
例 1.1.9 (首都师范大学,2021) 求行列式
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{cccccccccc} 17&&&&&&&&&18\\ &13&&&&&&&14&\\ &&9&&&&&10&&\\ &&&5&&&6&&&\\ &&&&1&2&&&&\\ &&&&3&4&&&&\\ &&&7&&&8&&&\\ &&11&&&&&12&&\\ &15&&&&&&&16&\\ 19&&&&&&&&&20 \end{array}\right|. \end{aligned}$
例 1.1.09 (首都师范大学,2021)
例 1.1.10 (南京师范大学, 2023) 计算 $2 n$ 阶行列式
$\begin{aligned} D_{2 n}=\left|\begin{array}{cccccc} a_n & & & & & b_n \\ & \ddots & & & \mathrm{id}dots & \\ & & a_1 & b_1 & & \\ & & c_1 & d_1 & & \\ &\mathrm{id}dots & & & \ddots & \\ c_n & & & & & d_n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.10 (首都师范大学,2021)
例 1.1.11 计算 $2 n+1$ 阶行列式
$\begin{aligned} D_{2 n+1}=\left|\begin{array}{ccccccc} a_n & & & & & & b_n \\ & \ddots & & & & \mathrm{id}dots & \\ & & a_1 & & b_1 & & \\ & & & e & & & \\ & & c_1 & & d_1 & & \\ & \mathrm{id}dots & & & & \ddots & \\ c_n & & & & & & d_n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.11
加边法
加边法 (也称为升阶法) 是指在原行列式的基础上增加多行多列, 通常增加一行一列, 但新的行列式更易计算.
例 1.1.12 (杭州电子科技大学,2021) 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccc} 1+a & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2+a & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 2 & \cdots & n+a \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.12 (杭州电子科技大学,2021)
例 1.1.13 (广东财经大学,2022) 计算行列式
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{ccccc} 1+x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1 & 1+x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_2 & 1+x_3 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & 1+x_n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.13 (广东财经大学,2022)
例 1.1.14 (北京科技大学,2008; 华东理工大学,2021) 求行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n+x \\ 1 & 2 & \cdots & n-1+x & n \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1+x & 2 & \cdots & n-1 & n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.14 (北京科技大学,2008; 华东理工大学,2021)
例 1.1.15 计算行列式
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{cccc} x_1 & y & \cdots & y \\ y & x_2 & \cdots & y \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ y & y & \cdots & x_n \end{array}\right|,\end{aligned}$
其中 $x_i-y \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$.
例 1.1.15
例 1.1.16 (东北大学,2021) 计算行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccc} x_1+x & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_2+x & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n+x \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.16 (东北大学,2021)
例 1.1.17 (天津大学,2021; 兰州大学,2021; 南昌大学,2021) 计算行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccccc} a_1+x_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2+x_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2 & a_3+x_3 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n+x_n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.17 (天津大学,2021; 兰州大学,2021; 南昌大学,2021)
例 1.1.18 (首都师范大学,2015) 求行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ a^4 & b^4 & c^4 & d^4 \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.18(首都师范大学,2015)
例 1.1.19 (曲阜师范大学, 2023) 计算如下行列式:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\ 1 & 8 & 27 & 64 & 125 \\ 1 & 32 & 243 & 1024 & 3125 \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.19(曲阜师范大学,2023)
例 1.1.20 (汕头大学,2019) 计算行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\ a_1^3 & a_2^3 & a_3^3 & \cdots & a_n^3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^n & a_2^n & a_3^n & \cdots & a_n^n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.20(汕头大学,2019)
例 1.1.21 (湖南大学,2023) 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2^2 & \cdots & n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 2^{n-2} & \cdots & n^{n-2} \\ 1 & 2^n & \cdots & n^n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.21(湖南大学,2023)
例 1.1.22 (湘潭大学,2023) 求行列式
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{ccccccc} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-3} & a_1^{n-1} & a_1^n \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-3} & a_2^{n-1} & a_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-3} & a_n^{n-1} & a_n^n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.22(湘潭大学,2023)
递推法
递推法就是将 $n$ 阶行列式 $D_n$ 用 $D_{n-1}$ 或更低阶的行列式表示出来, 然后通过递推求出 $D_n$.
例 1.1.23 (江苏大学,2004; 西南师范大学,2004; 沈阳工业大学,2018; 长沙理工大学,2020; 山东师范大学,2021; 北京工业大学,2021; 陕西师范大学,2022) 计算行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{rrrrr} x & a & a & \cdots & a \\ -a & x & a & \cdots & a \\ -a & -a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a & -a & -a & \cdots & x \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.23(江苏大学,2004;西南师范大学,2004;沈阳工业大学,2018;
例 1.1.24 (东北师范大学,2016; 河北工业大学,2020) 证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccccc} x & y & \cdots & y & y \\ z & x & \cdots & y & y \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ z & z & \cdots & x & y \\ z & z & \cdots & z & x \end{array}\right|=\frac{y(x-z)^n-z(x-y)^n}{y-z}(y \neq z).\end{aligned}$
例1.1.24(东北师范大学,2016;河北工业大学,2020)
例 1.1.25 (兰州大学,2010) 计算下列行列式的值:
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{ccccc} x & b & \cdots & b & b \\ a & x & \cdots & b & b \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a & a & \cdots & x & b \\ a & a & \cdots & a & x \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.25(兰州大学,2010)
例 1.1.26 (西安建筑科技大学, 2020; 武汉理工大学,2021) 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ x & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\ x & x & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ x & x & x & \cdots & 1 & 2 \\ x & x & x & \cdots & x & 1 \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.26(西安建筑科技大学,2020;武汉理工大学,2021)
例 1.1.27 (赣南师范大学, 2017; 山东科技大学,2020) 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccc} \alpha+\beta & \alpha \beta & & \\ 1 & \alpha+\beta & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & \alpha \beta \\ & & 1 & \alpha+\beta \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.27(赣南师范大学,2017;山东科技大学,2020)
例 1.1.28 (河北大学, 2014 ; 河北工业大学,2022) 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccc} 2 a & a^2 & & & & \\ 1 & 2 a & a^2 & & & \\ & 1 & 2 a & a^2 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & 2 a & a^2 \\ & & & & 1 & 2 a \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.28(河北大学,2014;河北工业大学,2022)
例 1.1.29 (北京科技大学,2020) 计算下列行列式:
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccccc} a^2+a b & a^2 b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & a+b & a b & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a+b & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a+b & a b \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a+b \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.29(北京科技大学,2020)
例 1.1.30 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccccc} a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ c & a & b & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & c & a & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c & a \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.30
例 1.1.31 (汕头大学, 2014) 计算下列矩阵的行列式 $\left(A_n\right.$ 的 $(i, n-i+1)$ 元素为 $a_i$, 其他元素为 $0 ; B_n$ 为三对角矩阵):
$\begin{aligned} \begin{array}{c} A_n=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_1 \\ 0 & 0 & \cdots & a_2 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & a_{n-1} & \cdots & 0 & 0 \\ a_n & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right) ; \\ B_n=\left(\begin{array}{cccccc} a_1 & b_1 & & & & \\ -a_1 & a_2-b_1 & b_2 & & & \\ & -a_2 & a_3-b_2 & & & \\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & & & a_{n-1}-b_{n-2} & b_{n-1} \\ & & & & -a_{n-1} & a_n-b_{n-1} \end{array}\right). \end{array}\end{aligned}$
例1.1.31(汕头大学,2014)
例 1.1.32 (华中科技大学,2010) 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccccc} 1-x & x & & & \\ -1 & 1-x & x & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -1 & 1-x & x \\ & & & -1 & 1-x \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.32(华中科技大学,2010)
例 1.1.33 (中国科学院大学,2017) 求下列 $n$ 阶行列式的值:
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{ccccccc} 1-a_1 & a_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & 1-a_2 & a_3 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1-a_3 & a_4 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1-a_{n-1} & a_n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 1-a_n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.33(中国科学院大学,2017)
利用已知行列式
利用范德蒙德行列式等的结论计算.
例 1.1.34 (南开大学,2022) 计算行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{llll} 2^4+1 & 2^3 & 2^2 & 2 \\ 3^4+1 & 3^3 & 3^2 & 3 \\ 4^4+1 & 4^3 & 4^2 & 4 \\ 5^4+1 & 5^3 & 5^2 & 5 \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.34(南开大学,2022)
例 1.1.35 (西南大学,2019) 计算行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 256 \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.35 (西南大学,2019)
例 1.1.36 (湖北大学,2000) 设
$\begin{aligned} V=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \cdots & 19 & 20 \\ 1 & 2^2 & \cdots & 19^2 & 20^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & 2^{19} & \cdots & 19^{19} & 20^{19} \end{array}\right|.\end{aligned}$
(1) 求 $V$ 写成阶乘形式的值;
(2) $V$ 的值的末尾有多少个零?
例1.1.36(湖北大学,2000)
例 1.1.37 (福州大学,2006; 河北工业大学,2006; 北京交通大学,2007) 已知行列式
$\begin{aligned} P(x)=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & x & x^2 & \cdots & x^{n-1} \\ 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & a_{n-1} & a_{n-1}^2 & \cdots & a_{n-1}^{n-1} \end{array}\right|,\end{aligned}$
其中 $a_1, a_2, \cdots, a_{n-1}$ 为互不相同的数. 证明: $P(x)$ 是一个 $n-1$ 次多项式, 并求其最高次项的系数和 $P(x)$ 的根.
例1.1.37(福州大学,2006;?河北工业大学,2006;?北京交通大学,2007)
例 1.1.38 (南开大学,2005年) 计算行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1+1 & x_2+1 & \cdots & x_n+1 \\ x_1^2+x_1 & x_2^2+x_2 & \cdots & x_n^2+x_n \\ x_1^3+x_1^2 & x_2^3+x_2^2 & \cdots & x_n^3+x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1}+x_1^{n-2} & x_2^{n-1}+x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}+x_n^{n-2} \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.38(南开大学,2005年)
例 1.1.39 (深圳大学,2013; 西北大学,2014; 聊城大学,2015) 设 $a_i \neq 0(i=1,2, \cdots, n+1)$. 计算 $n+1$ 阶行列式
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{ccccc} a_1^n & a_1^{n-1} b_1 & \ldots & a_1 b_1^{n-1} & b_1^n \\ a_2^n & a_2^{n-1} b_2 & \ldots & a_2 b_2^{n-1} & b_2^n \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n+1}^n & a_{n+1}^{n-1} b_{n+1} & \ldots & a_{n+1} b_{n+1}^{n-1} & b_{n+1}^n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.39(深圳大学,2013;西北大学,2014;聊城大学,2015)
例 1.1.40 (扬州大学, 2019) 设 $S_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k(k=0,1,2,3, \cdots)$, 证明:
(1) $n=3$ 时, 行列式 $D_3=\left|\begin{array}{lll}S_0 & S_1 & S_2 \\ S_1 & S_2 & S_3 \\ S_2 & S_3 & S_4\end{array}\right|=\prod_{1 \leqslant i\lt j \leqslant 3}\left(x_j-x_i\right)^2$ ;
(2) $n+1$ 阶行列式
$\begin{aligned} D_{n+1}=\left|\begin{array}{ccccc}S_0 & S_1 & \cdots & S_{n-1} & 1 \\ S_1 & S_2 & \cdots & S_n & x \\ S_2 & S_3 & \cdots & S_{n+1} & x^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ S_n & S_{n+1} & \cdots & S_{2 n-1} & x^n\end{array}\right|=\prod_{1 \leqslant i\lt j \leqslant n}\left(x_j-x_i\right)^2 \prod_{i=1}^n\left(x-x_i\right). \end{aligned}$
例 1.1.40 (扬州大学, 2019)
例 1.1.41 (四川大学,2011) 设 $F, K$ 都是数域且 $F \subseteq K$. 设 $F$ 上的 $n$ 次多项式 $f(x)$ 在 $K$ 上有 $n$ 个根 $x_1, x_2, \cdots, x_n$, 证明: $\prod_{1 \leqslant i\lt j \leqslant n}\left(x_i-x_j\right)^2 \in F$.
例1.1.41(四川大学,2011)
例 1.1.42 (兰州大学,2010; 兰州大学,2015; 兰州大学,2020; 杭州师范大学,2020) 计算行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccc} 1+x_1 & 1+x_1^2 & \cdots & 1+x_1^n \\ 1+x_2 & 1+x_2^2 & \cdots & 1+x_2^n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1+x_n & 1+x_n^2 & \cdots & 1+x_n^n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.42(兰州大学,2010;兰州大学,2015;兰州大学,2020;
例 1.1.43 (兰州大学,2021) 计算行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccc} a+x_1 & a+x_2 & \cdots & a+x_n \\ a+x_1^2 & a+x_2^2 & \cdots & a+x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a+x_1^n & a+x_2^n & \cdots & a+x_n^n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.43(兰州大学,2021)
例 1.1.44 (陕西师范大学, 2021; 兰州大学,2021; 北京邮电大学,2022) 计算如下 $n$ 阶行列式:
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccc} a+x_1 & a+x_2 & \cdots & a+x_n \\ a^2+x_1^2 & a^2+x_2^2 & \cdots & a^2+x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a^n+x_1^n & a^n+x_2^n & \cdots & a^n+x_n^n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.44(陕西师范大学,2021;兰州大学,2021;北京邮电大学,2022)
例 1.1.45 (华中科技大学,2023) 计算行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccc} 2^2-2 & 2^3-2 & \cdots & 2^{2023}-2 \\ 3^2-3 & 3^3-3 & \cdots & 3^{2023}-3 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2023^2-2023 & 2023^3-2023 & \cdots & 2023^{2023}-2023 \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.45(华中科技大学,2023)
数学归纳法
例 1.1.46 计算如下行列式:
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccc} x^2+1 & x & & \\ x & x^2+1 & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & x \\ & & x & x^2+1 \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.1.46
例 1.1.47 (复旦大学高等代数每周一题 [问题 2017A03]) 求下列 $n$ 阶行列式的值:
$\begin{aligned} |A|=\left|\begin{array}{cccccc} 1+x^2 & x & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ x+x^2 & 1+x^2 & x & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1+x^2 & x \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1+x^2 \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.1.47 (复旦大学高等代数每周一题 [问题 2017A03])
例 1.1.48 证明: 如果 $n$ 阶行列式 $D=\left(a_{i j}\right)$ 中的所有元素都是 1 或 -1, 则当 $n \geqslant 3$ 时, $|D| \leqslant \frac{2}{3} n !$.
例 1.1.48
例 1.1.49 (第四届全国大学生数学竞赛预赛,2013) 设 $n$ 阶实方阵 $A$ 的每个元素的绝对值为 2. 证明: 当 $n \geqslant 3$ 时, $|A| \leqslant \frac{1}{3} 2^{n+1} n !$.
例 1.1.49 (第四届全国大学生数学竞赛预赛,2013)
例 1.1.50 (第十三届全国大学生数学竞赛预赛数学 B 类,2021) 设 $R=\{0,1,-1\}, S$ 为 $R$ 上的 3 阶行列式的全体, 即 $S=\left\{\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3} \mid a_{i j} \in R\right\}$. 证明: $S=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$.
例 1.1.50 (第十三届全国大学生数学竞赛预赛数学 B 类,2021)
定义法
例 1.1.51 证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 2^2 & 3^2 & 4^2 & \cdots & n^2 & (n+1)^2 \\ 3^3 & 4^3 & 5^3 & \cdots & (n+1)^3 & (n+1)^3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ n^n & (n+1)^n & (n+1)^n & \cdots & (n+1)^n & (n+1)^n \end{array}\right| \neq 0\end{aligned}$
其中 $n$ 为奇数.
例 1.1.51
例 1.1.52 (樊启斌高等代数典型问题与方法思考与练习3.24) 求解齐次线性方程组
$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=0, \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=0, \\ \vdots \\ a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=0, \end{array}\right.\end{aligned}$
其中 $a_{i i}=2019, i=1,2, \cdots, n, a_{i j} \in\{2018,610,-2018,-610\}, i \neq j(i, j=1,2, \cdots, n)$.
例 1.1.52 (樊启斌高等代数典型问题与方法思考与练习3.24)
例 1.1.53 (武汉大学, 2020 $)$ 设 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, a_{i j} \in \mathbb{Z}(i, j=1,2, \cdots, n), k$ 为正整数且 $k \geqslant 2$.证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccccc} a_{11}-\frac{1}{k} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22}-\frac{1}{k} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \cdots & a_{n n}-\frac{1}{k} \end{array}\right| \neq 0.\end{aligned}$
例 1.1.53 (武汉大学, 2020)
例 1.1.54 (西北大学,2020) 已知 $a_{i j}$ 都是整数, 证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccccc} a_{11}-\frac{1}{2} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22}-\frac{1}{2} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \cdots & a_{n n}-\frac{1}{2} \end{array}\right| \neq 0.\end{aligned}$
例 1.1.54 (西北大学,2020)
例 1.1.55 (河南师范大学, 2015) 设 $A$ 是整数方阵, 证明: 线性方程组 $A X=\frac{1}{2} X$ 只有零解.
例 1.1.55 (河南师范大学, 2015)
例 1.1.56 (西安交通大学,2008) 设 $n$ 阶方阵 $A$ 的元素都是整数, 有理数 $b=\frac{q}{p}$ 为既约分数 (即 $p \neq 1$, 且 $p, q$ 互质), 证明: 线性方程组 $A x=b x$ 只有零解.
例 1.1.56 (西安交通大学,2008)
例 1.1.57 设 $A$ 是 $n$ 阶整数矩阵, 证明: 线性方程组 $A X=B X$ 只有零解, 其中 $B=\operatorname{diag}$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2^2}, \cdots, \frac{1}{2^n}\right)$.
例 1.1.57
行列式的计算公式51题
常用的行列式计算公式
设 $A, B \in F^{n \times n}, k \in F$, 则
(1) 一般情况下, $|A \pm B| \neq|A| \pm|B|$ ;
(2) $|k A|=k^n|A|$
(3) $|A B|=|A||B| ;\left|A^k\right|=|A|^k$ ;
(4) $\left|A^{\mathrm{T}}\right|=|A|$ ;
(5) $A$ 可逆的充要条件是 $|A| \neq 0$ ;
(6) 若 $A$ 可逆, 则 $\left|A^{-1}\right|=|A|^{-1}$ ;
(7) $\left|A^*\right|=|A|^{n-1}$ ;
(8) 初等矩阵的行列式: $|P(i, j)|=-1,|P(i(c))|=c,|P(i, j(k))|=1$ ;
(9) 分块矩阵的行列式
$\begin{aligned} \begin{array}{l} \left|\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} A & D \\ O & B \end{array}\right|=|A||B| ; \\ \left|\begin{array}{cc} O & A_{n \times n} \\ B_{m \times m} & O \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} C & A_{n \times n} \\ B_{m \times m} & O \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} O & A_{n \times n} \\ B_{m \times m} & D \end{array}\right|=(-1)^{m n}|A||B|. \\\end{array}\end{aligned}$
例 1.2.1 (东北师范大学,2022) 计算行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccc} a_1+b_1 & a_1+b_2 & \cdots & a_1+b_n \\ a_2+b_1 & a_2+b_2 & \cdots & a_2+b_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n+b_1 & a_n+b_2 & \cdots & a_n+b_n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.2.01 (东北师范大学,2022)
例 1.2.2 (杭州电子科技大学,2020) 计算行列式
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{cccc} a_1 b_1+1 & a_1 b_2+2 & \cdots & a_1 b_n+n \\ a_2 b_1+1 & a_2 b_2+2 & \cdots & a_2 b_n+n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n b_1+1 & a_n b_2+2 & \cdots & a_n b_n+n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.2.02 (杭州电子科技大学,2020)
例 1.2.3 (兰州大学,2022) 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccccc} x_1+a_1 b_1 & x_1+a_1 b_2 & x_1+a_1 b_3 & \cdots & x_1+a_1 b_n \\ x_2+a_2 b_1 & x_2+a_2 b_2 & x_2+a_2 b_3 & \cdots & x_2+a_2 b_n \\ x_3+a_3 b_1 & x_3+a_3 b_2 & x_3+a_3 b_3 & \cdots & x_3+a_3 b_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_n+a_n b_1 & x_n+a_n b_2 & x_n+a_n b_3 & \cdots & x_n+a_n b_n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.2.03 (兰州大学,2022)
例 1.2.4 设 $M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ 为 $m+n$ 阶方阵, 其中 $A$ 为 $m$ 阶可逆方阵, 证明
$\begin{aligned} \operatorname{det} M=\operatorname{det} A\left(D-C A ^ { - 1 } \boldsymbol { B } \right)\end{aligned}$
例 1.2.04
例 1.2.5 (重庆大学,2022) 设 $A, B, C, D$ 为 $n$ 阶方阵, 且 $|A| \neq 0, A=C A$. 证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right|=|A D-C B| \text {. }\end{aligned}$
例 1.2.05 (重庆大学,2022)
例 1.2.6 (兰州大学,2015; 河北工业大学,2021; 天津大学,2022) 设 $A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶方阵, 且 $A C=C A$, 则
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right|=|A D-C B|.\end{aligned}$
例 1.2.06 (兰州大学,2015; 河北工业大学,2021; 天津大学,2022)
例 1.2.7 (首都师范大学,2016) 求行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{llll} a^2 & a b & a b & b^2 \\ a c & a d & b c & b d \\ a c & b c & a d & b d \\ c^2 & c d & c d & d^2 \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.2.07 (首都师范大学,2016)
例 1.2.8 (首都师范大学, 2015) 设 $A, B, C, D$ 为 $n$ 阶方阵, 其中 $D$ 为可逆矩阵, 且 $C D=$ $D C$. 证明:
$\begin{aligned} \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right)=\operatorname{det}(A D-B C).\end{aligned}$
例 1.2.08 (首都师范大学, 2015)
例 1.2.9 设 $A, D$ 分别为 $n$ 阶与 $m$ 阶方阵, 则
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right|=\left\{\begin{array}{ll} |A|\left|D-C A^{-1} B\right|, & A \text { 可逆; } \\ |D|\left|A-B D^{-1} C\right|, & D \text { 可逆. } \end{array}\right.\end{aligned}$
例 1.2.09
例 1.2.10 (南京师范大学,2016) 设矩阵 $A, C$ 分别为 $n$ 阶与 $m$ 阶可逆矩阵, $B, D$ 分别为 $n \times m$ 和 $m \times n$ 矩阵. 证明:
$\begin{aligned} |C|\left|A-B C^{-1} D\right|=|A|\left|C-A^{-1} B\right|.\end{aligned}$
例 1.2.10 (南京师范大学,2016)
例 1.2.11 (南京师范大学, 2020) 设 $A, D$ 分别为 $n$ 阶和 $m$ 阶可逆矩阵, $B, C$ 分别为 $n \times m$ 和 $m \times n$ 矩阵. 证明:
(1) $\left|\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right|=|A|\left|D-C A^{-1} B\right|$.
(2) $r\left(A-B D^{-1} C\right)-r\left(D-C A^{-1} B\right)=n-m$.
例 1.2.11 (南京师范大学, 2020)
例 1.2.12 (中国科学技术大学, 2021) 已知 $\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ 为 $n$ 阶实方阵, 且 $B D=D B$.证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right|=|D A-B C|.\end{aligned}$
例 1.2.12 (中国科学技术大学, 2021)
例 1.2.13 (北京邮电大学, 2018) 设 $A$ 可逆, $\alpha, \beta$ 为 $n$ 维列向量, 则
$\begin{aligned} \left|A+\alpha \beta^{\mathrm{T}}\right|=|A|\left(1+\beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha\right).\end{aligned}$
例 1.2.13 (北京邮电大学, 2018)
例 1.2.14 (中山大学,2022) 求行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{lllll} 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \frac{3}{2} & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \frac{4}{3} & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \frac{5}{4} & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \frac{6}{5} \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.2.14 (中山大学,2022)
例 1.2.15 (哈尔滨工业大学, 2021) 设矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{6 \times 6 \text {, 其中 }} a_{i i}=2 i, i \neq j$ 时 $a_{i j}=i$,求 $A$ 的行列式的值.
例 1.2.15 (哈尔滨工业大学, 2021)
例 1.2.16 (汕头大学,2012) 计算行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccccc} \frac{3}{2}&1&1&\cdots&1&1 \\ 1 & \frac{4}{3} & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \frac{5}{4} & \cdots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & \frac{n+1}{n} & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & \frac{n+2}{n+1} \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.2.16 (汕头大学,2012)
例 1.2.17 (沈阳工业大学,2022) 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccccc} 2+1 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\ 2 & 2+\frac{1}{2} & 2 & \cdots & 2 \\ 2 & 2 & 2+\frac{1}{3} & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2 & 2 & 2 & \cdots & 2+\frac{1}{n} \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.2.17 (沈阳工业大学,2022)
例 1.2.18 (武汉大学,2009) 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{cccc} a_1^2-\mu & a_1 a_2 & \cdots & a_1 a_n \\ a_2 a_1 & a_2^2-\mu & \cdots & a_2 a_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n a_1 & a_n a_2 & \cdots & a_n^2-\mu \end{array}\right| \text { (其中 } \mu \neq 0 \text { ). }\end{aligned}$
例1.2.18(武汉大学,2009)
例 1.2.19 (天津大学,2023)(1) 计算行列式
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{cccc} 1+x_1 y_1 & x_1 y_2 & \cdots & x_1 y_n \\ x_2 y_1 & 1+x_2 y_2 & \cdots & x_2 y_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_n y_1 & x_n y_2 & \cdots & 1+x_n y_n \end{array}\right| ;\end{aligned}$
(2) 若 $\alpha^{\mathrm{T}} \beta \neq-1$, 证明: $E+\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ 可逆;
(3) 若 $\alpha^{\mathrm{T}} \beta=-1$, 证明: $r\left(E+\alpha \beta^{\mathrm{T}}\right)=n-1$.
例1.2.19(天津大学,2023)
例 1.2.20 (河海大学, 2021) 若 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 和 $\mu$ 是 $n+1$ 个实数, 计算行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccc} a_1^2-\mu & a_1 a_2 & \cdots & a_1 a_n \\ a_2 a_1 & a_2^2-\mu & \cdots & a_2 a_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n a_1 & a_n a_2 & \cdots & a_n^2-\mu \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.2.20(河海大学,2021)
例 1.2.21 (大连理工大学, 2022) 设 $\alpha$ 是 $n$ 维列向量, $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 证明:
$\begin{aligned} \left|A+\alpha \alpha^{\mathrm{T}}\right|=|A|+\alpha^{\mathrm{T}} A^* \alpha,\end{aligned}$
其中 $A^*$ 表示 $A$ 的伴随矩阵.
例1.2.21(大连理工大学,2022)
例 1.2.22 (中山大学, 2016) 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, $u, v$ 为 $n$ 维列向量, 则
$\begin{aligned} \left|A+u v^{\mathrm{T}}\right|=|A|+v^{\mathrm{T}} A^* u,\end{aligned}$
其中 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵.
例1.2.22(中山大学,2016)
例 1.2.23 (华南理工大学,2013) 计算下列 $n$ 阶行列式:
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{cccccc} 1+a_1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1+a_2 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+a_3 & \cdots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1+a_n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.2.23(华南理工大学,2013)
例 1.2.24 (兰州大学, 2011年) 设 $|A|=\left|a_{i j}\right|$ 是一个 $n$ 阶行列式, $A_{i j}$ 是它的第 $(i, j)$ 元素的代数余子式, 求证:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & x_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & x_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} & x_n \\ y_1 & y_2 & \cdots & y_n & 1 \end{array}\right|=|A|-\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n A_{i j} x_i x_j.\end{aligned}$
例1.2.24(兰州大学,2011年)
例 1.2.25 (中南大学,2012; 湘潭大学,2019年) 设 $\alpha=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)^{\mathrm{T}}$ 是一个 $n(n \geqslant 1)$ 维非霄实向量, $f(x)=$ $\left|x E-\alpha \alpha^{\mathrm{T}}\right|, g(x)=x^k-b^k$, 其中 $E_n$ 为 $n$ 阶单位矩阵, $k$ 是一个正整数, $b=\alpha^{\mathrm{T}} \alpha$. 求 $(f(x), g(x))$.
例1.2.25(中南大学,2012;湘潭大学,2019年)
例 1.2.26 (兰州大学,2011) 设 $A_{i j}$ 是 $n$ 阶矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 的代数余子式. 证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & x_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & x_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} & x_n \\ y_1 & y_2 & \cdots & y_n & z \end{array}\right|=|A| z-\sum_{i, j=1}^n A_{i j} x_i x_j.\end{aligned}$
例1.2.26(兰州大学,2011)
1.2.27 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, $|A| \neq 0, B_1$ 为 $n \times 2$ 矩阵, $B_2$ 为 $2 \times n$ 矩阵, 则
$\begin{aligned} \left|A+B_1 B_2\right|=|A|\left|E_2+B_2 A^{-1} B_1\right|.\end{aligned}$
例1.2.27
例 1.2.28 计算行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{cccc} a_1^2 & 1+a_1 a_2 & \cdots & 1+a_1 a_n \\ 1+a_2 a_1 & a_2^2 & \cdots & 1+a_2 a_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1+a_n a_1 & 1+a_n a_2 & \cdots & a_n^2 \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.2.28
例 1.2.29 (中国科学院大学,2021) 试计算
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{cccc} 2+a_1 c_1+b_1 d_1 & a_2 c_1+b_2 d_1 & \cdots & a_n c_1+b_n d_1 \\ a_1 c_2+b_1 d_2 & 2+a_2 c_2+b_2 d_2 & \cdots & a_n c_2+b_n d_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1 c_n+b_1 d_n & a_2 c_n+b_2 d_n & \cdots & 2+a_n c_n+b_n d_n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.2.29(中国科学院大学,2021)
例 1.2.30 (西安电子科技大学, 2007; 武汉大学, 2012; 中国科学院大学,2020) 设 $A$ 为 $n \times m$ 矩阵, $B$ 为 $m \times n$ 矩阵. 证明:
$\begin{aligned} \lambda^n\left|\lambda E_m-B A\right|=\lambda^m \mid \lambda E_n-A B |.\end{aligned}$
例 1.2.30 (西安电子科技大学, 2007; 武汉大学, 2012; 中国科学院大学,2020)
例 1.2.31 (中国科学院大学, 2010; 重庆大学,2021) 已知 $A, B$ 分别为 $n \times m$ 与 $m \times n$ 矩阵.
(1) (福州大学, 2022) 证明 $\left|E_n-A B |\right|=\left|E_m-B A \right|$, 其中 $E_n, E_m$ 分别为 $n$ 阶与 $m$ 阶单位矩阵;
(2) (上海大学,2012; 山西大学,2021) 计算行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{ccccc} 1+a_1+x_1 & a_1+x_2 & a_1+x_3 & \cdots & a_1+x_n \\ a_2+x_1 & 1+a_2+x_2 & a_2+x_3 & \cdots & a_2+x_n \\ a_3+x_1 & a_3+x_2 & 1+a_3+x_3 & \cdots & a_3+x_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n+x_1 & a_n+x_2 & a_n+x_3 & \cdots & 1+a_n+x_n \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.2.31(中国科学院大学,2010;重庆大学,2021)
例 1.2.32 (湖南师范大学, 2021) 已知实数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 满足 $\sum_{i=1}^n a_i=0$, 令
$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccc} a_1^2+1 & a_1 a_2+1 & \cdots & a_1 a_n+1 \\ a_2 a_1+1 & a_2^2+1 & \cdots & a_2 a_n+1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n a_1+1 & a_n a_2+1 & \cdots & a_n^2+1 \end{array}\right).\end{aligned}$
(1) 证明: 存在一个 $n \times 2$ 矩阵 $B$, 使得 $A=B B^{\mathrm{T}}$ ;
(2) 求 $n$ 阶实矩阵 $A$ 的特征值.
例1.2.32(湖南师范大学,2021)
例 1.2.33 (电子科技大学, 2022) $A$ 为 $3 \times 4$ 矩阵, $B$ 为 $4 \times 3$ 矩阵.
(1) 证明: $\left|\lambda E_4-B A\right|=\lambda\left|\lambda E_3-A B\right|$ ;
(2) 若 $\operatorname{tr}(A B)=6, A B$ 的每行元索之和均为 $1, B A-2 E$ 不可逆, 求 $|B A+2 E|$.
例1.2.33(电子科技大学,2022)
例 1.2.34 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵, 且 $E-A B$ 可逆, 证明: $E-B A$ 可逆, 并求其逆. 证 先证 $E-B A$ 可逆.
例1.2.34
例 1.2.35 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵, 且 $E+A B$ 可逆, 证明: $E+B A$ 可逆, 并求其逆.
例?1.2.35
例 1.2.36 (中山大学, 2019) 设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵, $B$ 为 $n \times m$ 矩阵. 证明: $E_m-A B$ 可逆当且仅当 $E_n-B A$ 可逆.
例1.2.36(中山大学,2019)
例 1.2.37 (南京航空航天大学, 2013) 设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵, 分块矩阵 $C=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right)$,证明:
(1) $|C|=|A+B||A-B|$ ;
(2) 若 $B$ 可逆, 则 $|C|=|B|\left|A B^{-1} A-B\right|$.
例1.2.37(南京航空航天大学,2013)
例 1.2.38 (武汉大学,2021) 设 $A, B$ 为二阶矩阵, 且 $B=2 A$, 其中二阶矩阵 $A$ 的特征值为 $-\frac{1}{2}, 2$, 且 $M=\left(\begin{array}{ll}B & A \\ A & B\end{array}\right)$, 求 $\operatorname{det}(M)$.
例1.2.38(武汉大学,2021)
例 1.2.39 (上海交通大学, 2021) 设 $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}, A^{\mathrm{T}}=A, B^{\mathrm{T}}=B$, 记 $C=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right)$.
(1) 证明: $C$ 可逆当且仅当 $A-B, A+B$ 可逆;
(2) 证明: $C$ 正定当且仅当 $A, A-B A^{-1} B$ 都是正定矩阵.
例1.2.39(上海交通大学,2021)
例 1.2.40 设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵, 证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ll} A+B & A-B \\ A-B & A+B \end{array}\right|=4^n|A||B|.\end{aligned}$
例1.2.40
例 1.2.41 (大连理工大学, 2022) 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵, $C=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right)$, 证明: $C$ 的特征值是 $A+B$ 或 $A-B$ 的特征值; 反之, $A+B$ 和 $A-B$ 的特征值都是 $C$ 的特征值.
例1.2.41(大连理工大学,2022)
例 1.2.42 (中国科学院大学, 2020) 设 $A, B$ 为 $n$ 阶实方阵, 证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{rr} A & B \\ -B & A \end{array}\right|=|A+\sqrt{-1} B| \cdot|A-\sqrt{-1} B|.\end{aligned}$
例1.2.42(中国科学院大学,2020)
例 1.2.43 设 $A, B$ 都是 $n$ 阶方阵, 且 $A B=B A$. 证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{rr} A & -B \\ B & A \end{array}\right|=\left|A^2+B^2\right|.\end{aligned}$
例1.2.43
例 1.2.44 (首都师范大学,2018) 将行列式 $\left|\begin{array}{llll}a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a\end{array}\right|$ 表示为因式的乘积.
例1.2.44(首都师范大学,2018)
例 1.2.45 计算行列式
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{llllll} x & y & z & a & b & c \\ z & x & y & c & a & b \\ y & z & x & b & c & a \\ a & b & c & x & y & z \\ c & a & b & z & x & y \\ b & c & a & y & z & x \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.2.45
例 1.2.46 (南开大学,2021) 计算行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{rrrr} a & -a & -1 & 0 \\ a & -a & 0 & -1 \\ 1 & 0 & a & -a \\ 0 & 1 & a & -a \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.2.46(南开大学,2021)
例 1.2.47 (首都师范大学,2020) 计算四阶行列式
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{cccc} a x & a y & b x & b y \\ a z & a u & b z & b u \\ c x & c y & d x & d y \\ c z & c u & d z & d u \end{array}\right|.\end{aligned}$
例1.2.47(首都师范大学,2020)
例 1.2.48 (南京大学, 2008) 设 $A$ 是一个 $n$ 阶矩阵, $\alpha$ 是一个 $n$ 维列向量. 证明: 如果
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cc} A & \alpha \\ \alpha^{\mathrm{T}} & b \end{array}\right|=0,\end{aligned}$
那么
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cc} A & \alpha \\ \alpha^{\mathrm{T}} & a \end{array}\right|=(a-b)|A|.\end{aligned}$
例 1.2.48 (南京大学, 2008)
例 1.2.49 (华南理工大学, 2011 ; 福州大学, 2021) 设 $A, B, C, D$ 为 $n$ 阶方阵, 若 $r\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)=n$,证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ll} |A| & |B| \\ |C| & |D| \end{array}\right|=0.\end{aligned}$
而且若 $A$ 可逆, 则 $D=C A^{-1} B$.
例 1.2.49 (华南理工大学, 2011 ; 福州大学, 2021)
例 1.2.50 (厦门大学, 2013; 四川师范大学,2014) 设 $A, B, C, D$ 为 $n$ 阶方阵.
(1) 证明: 若 $A$ 可逆, 则 $\left|\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right|=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}\left(D-C A^{-1} B\right)$ ;
(2) 若 $r\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)=n$, 问 $\left(\begin{array}{ll}\operatorname{det}(A) & \operatorname{det}(B) \\ \operatorname{det}(C) & \operatorname{det}(D)\end{array}\right)$ 是否可逆? 若可逆, 请证明; 若不可逆, 请举反例.
例 1.2.50 (厦门大学, 2013; 四川师范大学,2014)
例 1.2.51 (天津大学, 2019) 证明: (1) 已知 $r\left(E_n+A B\right)=n$, 证明: $r\left(E_n+B A\right)=n$.
(2) 设 $A, B, C, D$ 为 $n$ 阶方阵. 若 $r\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)=2 n$, 则 $\left(\begin{array}{ll}|A| & |B| \\ |C| & |D|\end{array}\right)$ 是否满秩? 是, 请给出证明; 不是, 请给出反例.
例 1.2.51 (天津大学, 2019)
代数余子式求和问题20题
代数余子式求和的方法
行列式的余子式 (代数余子式) 之和的求解问题在研究生人学考试中经常出现. 解决这类问题的方法有:
(1)用余子式 (代数余子式) 的定义直接计算. 此法一般计算量较大, 易出错.
(2) 利用行列式元素的余子式 (代数余子式) 与此元素的值无关的特点, 改变行列式的某个 (行或列) 元素, 然后利用行列式的展开定理处理. 此法应用较多.
(3) 考虑矩阵的伴随矩阵.
(4) 利用
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccc} a_{11}+x & a_{12}+x & \cdots & a_{1 n}+x \\ a_{21}+x & a_{22}+x & \cdots & a_{2 n}+x \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1}+x & a_{n 2}+x & \cdots & a_{n n}+x \end{array}\right|=\left|a_{i j}\right|+x \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n A_{i j},\end{aligned}$
其中 $A_{i j}$ 是 $\left|a_{i j}\right|$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式.
(5) 利用结论: 设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 为 $n$ 阶方阵, $u=\left(u_1, u_2, \cdots, u_n\right)^{\mathrm{T}}, v=\left(v_1, v_2, \cdots, v_n\right)^{\mathrm{T}}$ 为 $n$ 维列向量, 则
$\begin{aligned} \left|A+u v^{\mathrm{T}}\right|=\left|\begin{array}{cc} A & u \\ -v^{\mathrm{T}} & 1 \end{array}\right|=|A|+v^{\mathrm{T}} A^* u=|A|+\sum_{i, j=1}^n u_i v_j A_{i j},\end{aligned}$
其中 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵.
(6) 利用结论: 设 $n$ 阶行列式 $|A|=\left|a_{i j}\right|, A_{i j}$ 是元素 $a_{i j}$ 的代数余子式, 证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccccc} a_{11}-a_{12} & a_{12}-a_{13} & \cdots & a_{1(n-1)}-a_{1 n} & 1 \\ a_{21}-a_{22} & a_{22}-a_{23} & \cdots & a_{2(n-1)}-a_{2 n} & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1}-a_{n 2} & a_{n 2}-a_{n 3} & \cdots & a_{n(n-1)}-a_{n n} & 1 \end{array}\right|=\sum_{i, j=1}^n A_{i j}.\end{aligned}$
例 1.3.1 证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccc} a_{11}+x & a_{12}+x & \cdots & a_{1 n}+x \\ a_{21}+x & a_{22}+x & \cdots & a_{2 n}+x \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1}+x & a_{n 2}+x & \cdots & a_{n n}+x \end{array}\right|=\left|a_{i j}\right|+x \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n A_{i j},\end{aligned}$
其中 $A_{i j}$ 是 $\left|a_{i j}\right|$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式.
例 1.3.01
例 1.3.2 设 $n$ 阶行列式 $|A|=\left|a_{i j}\right|, A_{i j}$ 是元素 $a_{i j}$ 的代数余子式, 证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccccc} a_{11}-a_{12} & a_{12}-a_{13} & \cdots & a_{1(n-1)}-a_{1 n} & 1 \\ a_{21}-a_{22} & a_{22}-a_{23} & \cdots & a_{2(n-1)}-a_{2 n} & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1}-a_{n 2} & a_{n 2}-a_{n 3} & \cdots & a_{n(n-1)}-a_{n n} & 1 \end{array}\right|=\sum_{i, j=1}^n A_{i j}.\end{aligned}$
例 1.3.02
例 1.3.3 设 $|A|=\left|\begin{array}{llll}3 & 2 & 2 & 4 \\ 5 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 7 & 8\end{array}\right|$, 求 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$ 以及 $M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}$.
例 1.3.03
例 1.3.4 (华侨大学,2012) 设行列式 $D=\left|\begin{array}{rrrr}3 & -5 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 5 \\ -2 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -1 & -3\end{array}\right|$, 求:
(1) $A_{11}+A_{12}+5 A_{14}$ ;
(2) $M_{11}+M_{12}+M_{13}+M_{14}$.
例 1.3.04 (华侨大学,2012)
例 1.3.5 (中山大学,2021) 记矩阵 $\left(\begin{array}{rrrr}1 & -3 & 1 & -3 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 10 & -6 & 8\end{array}\right)$ 的 $(i, j)$ 元素的余子式为 $M_{i j}$.求 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}$.
例 1.3.05 (中山大学,2021)
例 1.3.6 (湖南大学,2008) 已知五阶行列式
$\begin{aligned} D_5=\left|\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 2 \\ 4 & 3 & 1 & 5 & 0 \end{array}\right|=27\end{aligned}$
计算 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}+A_{45}$ 以及 $A_{41}$.
例 1.3.06 (湖南大学,2008)
例 1.3.7 (南开大学,2006; 扬州大学, 2020; 武汉理工大学, 2021; 郑州大学,2021) 设 $A=$ $\left(\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right)$, 又 $A_{i j}$ 为 $A$ 中的 $(i, j)$ 元素在 $|A|$ 中的代数余子式, 试求 $\sum_{i, j=1}^4 A_{i j}$.
例 1.3.07 (南开大学,2006; 扬州大学, 2020; 武汉理工大学, 2021;
例 1.3.8 (华北水利水电学院,2005; 电子科技大学, 2010 ; 华中科技大学,2012; 西安电子科技大学,2015) 设
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right|,\end{aligned}$
求 $D$ 的所有元素的代数余子式之和.
例 1.3.08 (华北水利水电学院,2005; 电子科技大学, 2010 ;
例 1.3.9 (扬州大学,2017; 河海大学,2021) 设 $n$ 阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right), A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵, $A_{i j}$ 是 $A$ 的行列式中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式.
(1) 求逆矩阵 $A^{-1}$ ;
(2) 求 $\left(A^*\right)^*$ ;
(3) 证明: $\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n A_{i j}=1$.
例 1.3.09 (扬州大学,2017; 河海大学,2021)
例 1.3.10 (华南理工大学,2021) 设 $n$ 阶矩阵
$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right),\end{aligned}$
其中 $A_{i j}$ 为元素 $a_{i j}$ 对应的代数余子式.
(1) 求 $2 A_{11}+2^2 A_{12}+\cdots+2^n A_{1 n}$ ;
(2) 求 $|A|$ 的所有代数余子式之和.
例 1.3.10 (华南理工大学,2021)
例 1.3.11 (北方交通大学,2005; 北京科技大学,2009; 北京交通大学,2021) 设 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{ccccc} 2 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right|,\end{aligned}$
试求 $D$ 的所有元素的代数余子式之和 $\sum_{i, j=1}^n A_{i j}$.
例 1.3.11 (北方交通大学,2005; 北京科技大学,2009; 北京交通大学,2021)
例 1.3.12 (武汉大学,2013) 求 $n$ 阶行列式 $D_n$ 的所有元素的代数余子式之和, 其中
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{ccccc} 33 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 61 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.3.12 (武汉大学,2013)
例 1.3.13 (电子科技大学,2006; 南开大学,2016) 设 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} D_n=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & n \end{array}\right|,\end{aligned}$
求第一行各元素的代数余子式之和 $A_{11}+A_{12}+\cdots+A_{1 n}$.
例 1.3.13 (电子科技大学,2006; 南开大学,2016)
例 1.3.14 (华北水利水电学院, 2007) 设 $n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{ccccc}1 & 3 & 5 & \cdots & 2 n-1 \\ 1 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & n\end{array}\right|$, 则 $A_{11}+$ $A_{12}+\cdots+A_{1 n}=(\quad )$.
例 1.3.14 (华北水利水电学院, 2007)
例 1.3.15 (南开大学,2014; 上海理工大学,2021) 设 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=1\end{aligned}$
且满足 $a_{i j}=-a_{j i}, i, j=1,2, \cdots, n$. 对任意数 $b$, 求 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccc} a_{11}+b & a_{12}+b & \cdots & a_{1 n}+b \\ a_{21}+b & a_{22}+b & \cdots & a_{2 n}+b \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1}+b & a_{n 2}+b & \cdots & a_{n n}+b \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.3.15 (南开大学,2014; 上海理工大学,2021)
例 1.3.16 (浙江大学,2006) (1) 把下列行列式表示成按 $x$ 的幕次排列的多项式:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccc} a_{11}+x & a_{12}+x & \cdots & a_{1 n}+x \\ a_{21}+x & a_{22}+x & \cdots & a_{2 n}+x \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1}+x & a_{n 2}+x & \cdots & a_{n n}+x \end{array}\right| ;\end{aligned}$
(2) 把行列式 $D$ 的所有元素都加上同一个数, 则行列式所有元素的代数余子式之和不变.
例 1.3.16 (浙江大学,2006)
例 1.3.17 (上海大学, 2011)(1) 设 $X, Y \in F^n, A \in F^{n \times n}$, 证明: $\operatorname{det}\left(A+X Y^{\mathrm{T}}\right)=\operatorname{det}(A)+$ $Y^{\mathrm{T}} A^* X$
(2) 利用 (1) 的结论证明: 如果 $n$ 阶方阵 $A$ 的行列式为 $1, \operatorname{det}(A+J)=2$, 其中 $J$ 为 $n$ 阶方阵,且矩阵中的元素都是 1, 则 $A^*$ 的所有元素之和为 1.
例 1.3.17 (上海大学, 2011)
例 1.3.18 (北京工业大学, 2012) 将 $n$ (自然数 $n \geqslant 2$ ) 阶实矩阵 $A$ 的第一行的 -1 倍加到其余所有行上, 得到矩阵 $A_1$, 将 $A_1$ 的第一列的 $-1$ 倍加到其余所有列上, 得到矩阵 $A_2$, 将 $A_2$ 的第一行第一列删掉, 得到矩阵 $A_3$. 记 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=X^{\mathrm{T}} A^* X$ (其中行向量 $X^{\mathrm{T}}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$, $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵). 证明: 当 $x_i=1(i=1,2, \cdots, n)$ 时, $f(1,1, \cdots, 1)=\left|A_3\right|$.(提示: 可考虑 $A+J$ 及其行列式 $|A+J|$, 其中, $J$ 表示所有元素都是 1 的 $n$ 阶方阵.)
例 1.3.18 (北京工业大学, 2012)
例 1.3.19 (湖南大学,2006) 若把行列式
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{(n-1) 1} & \cdots & a_{(n-1)(n-1)} & a_{(n-1) n} \\ 1 & \cdots & 1 & 1 \end{array}\right|\end{aligned}$
的第 $j$ 列换成 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}, 1\right)^{\mathrm{T}}$ 后得到的新行列式记为 $D_j(j=1,2, \cdots, n)$, 试证:
$\begin{aligned} D_1+D_2+\cdots+D_n=D.\end{aligned}$
例 1.3.19 (湖南大学,2006)
例 1.3.20 (华中科技大学, 2016) 设
$\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1(n-1)} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2(n-1)} & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n(n-1)} & 1 \end{array}\right|,\end{aligned}$
将 $D$ 的第 $j$ 行换为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1}, 1$ 得到 $D_j(j=1,2, \cdots, n)$. 证明: $D=D_1+D_2+\cdots+D_n$.
例 1.3.20 (华中科技大学, 2016)
其他问题8题
例 1.4.1 (福建师范大学, 2007) 设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb{R}^3$, 令 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right), B=\left(\alpha_1+\right.$ $\left.\alpha_2, 2 \alpha_1+k \alpha_2+3 k \alpha_3, \alpha_3\right)$. 若 $|A|=1,|B|=3$, 则 $k=(\quad )$.
例 1.4.1 (福建师范大学, 2007)
例 1.4.2 (安徽大学,2007年) 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 只是第 $j$ 列不同, 试证:
$\begin{aligned} 2^{1-n}|A+B|=|A|+|B| \text {. }\end{aligned}$
例 1.4.2 (安徽大学,2007年)
例 1.4.3 (武汉大学,1998) 设 $n \geqslant 2, f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)$ 是关于 $x$ 的次数小于等于 $n-2$ 的多项式, $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为任意数, 证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccc} f_1\left(a_1\right) & f_2\left(a_1\right) & \cdots & f_n\left(a_1\right) \\ f_1\left(a_2\right) & f_2\left(a_2\right) & \cdots & f_n\left(a_2\right) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ f_1\left(a_n\right) & f_2\left(a_n\right) & \cdots & f_n\left(a_n\right) \end{array}\right|=0.\end{aligned}$
例 1.4.3 (武汉大学,1998)
例 1.4.4 (安徽师范大学,2017) 设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为 $n$ 个互不相同的实数, $f_1(x), f_2(x), \cdots$, $f_n(x)$ 为 $n$ 个次数不超过 $n-2$ 的多项式, 计算 $n$ 阶行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccc} f_1\left(a_1\right) & f_1\left(a_2\right) & \cdots & f_1\left(a_n\right) \\ f_2\left(a_1\right) & f_2\left(a_2\right) & \cdots & f_2\left(a_n\right) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ f_n\left(a_1\right) & f_n\left(a_2\right) & \cdots & f_n\left(a_n\right) \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.4.4 (安徽师范大学,2017)
例 1.4.5 (西北大学, 2010 ; 宁波大学, 2019) 设 $n \geqslant 2, f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)$ 是关于 $x$ 的次数小于等于 $n-2$ 的多项式, $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为任意数, 证明:
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccc} f_1\left(a_1\right) & f_2\left(a_1\right) & \cdots & f_n\left(a_1\right) \\ f_1\left(a_2\right) & f_2\left(a_2\right) & \cdots & f_n\left(a_2\right) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ f_1\left(a_n\right) & f_2\left(a_n\right) & \cdots & f_n\left(a_n\right) \end{array}\right|=0.\end{aligned}$
并举例说明条件 "次数小于等于 $n-2$ " 是不可缺少的.
例 1.4.5 (西北大学, 2010 ; 宁波大学, 2019)
例 1.4.6 (四川大学, 2003) 设 $f(x)$ 为首一的 $n$ 次多项式, 对任意数 $a$, 计算行列式
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccccc} f(a) & f^{\prime}(a) & f^{\prime \prime}(a) & \cdots & f^{(n)}(a) \\ f^{\prime}(a) & f^{\prime \prime}(a) & f^{\prime \prime \prime}(a) & \cdots & f^{(n+1)}(a) \\ f^{\prime \prime}(a) & f^{\prime \prime \prime}(a) & f^{(4)}(a) & \cdots & f^{(n+2)}(a) \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ f^{(n)}(a) & f^{(n+1)}(a) & f^{(n+2)}(a) & \cdots & f^{(2 n)}(a) \end{array}\right|.\end{aligned}$
例 1.4.6 (四川大学, 2003)
例 1.4.7 (浙江大学, 2016) 设 $\mathbb{R}[x]_{n+1}$ 是次数小于等于 $n$ 的实系数多项式全体, $f(x)$ 是 $n$ 次多项式, 证明: 对 $\mathbb{R}[x]_{n+1}$ 中的任意多项式 $g(x)$, 总存在常数 $c_0, \cdots, c_n$ 使得
$\begin{aligned} g(x)=c_0 f(x)+c_1 f^{\prime}(x)+\cdots+c_k f^{(k)}(x)+\cdots+c_n f^{(n)}(x),\end{aligned}$
其中 $f^{(k)}(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 次导数.
例 1.4.7 (浙江大学, 2016)
例 1.4.8 (中国人民大学,2018) 设 $n(\geqslant 2)$ 阶方阵 $A$ 的元素全为 1 或者 -1, 证明: $2^{n-1}$ 整除 $|A|$.
例 1.4.8 (中国人民大学,2018)
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发表于 2024-4-24 05:59:37
